第1章 方法专题 与相似三角形有关的辅助线做法-【教材解读】2023秋九年级上册初三数学（青岛版)

数学　九年级　上册 ４４　 方法专题 本章中,图形通过添加辅助线,往往 能构成一组或多组相似三角形,从而得 到比例线段或等角、等边等．添加的辅助 线可以是平行线、垂线、延长线、中线、中 位线等． [１．作平行线构造相似三角形] A B C D F N 图１Ｇ１２ 【例１】如图１Ｇ１２,已知 点 F 在 AB 上,且 AF∶BF＝１∶２,点 D 是BC 延长线上的 一点,BC∶CD＝２∶ １,连接FD 与AC 交 于点N,求FN∶ND 的值． E A B C D F N 图１Ｇ１３ 解 解法一 如图１Ｇ１３, 过点F 作FE∥BD, 交 AC 于 点E,易 证 △AFE∽△ABC, 所以 EF BC＝ AF AB． 因为AF∶BF＝１∶２,所以 AF AB＝ １ ３ , 所以 FE BC＝ １ ３ ,即FE＝ １ ３BC． 因为BC∶CD＝２∶１, 所以CD＝ １ ２BC． 因为FE∥BD, 所以△NFE∽△NDC, 所以 FN ND＝ FE CD＝ １ ３BC １ ２BC ＝ ２ ３． 即FN∶ND＝２∶３． A B C D F N 图１Ｇ１４ 解法二 如图１Ｇ１４,连 接CF,AD． 因为 AF∶BF＝１∶ ２,BC∶CD＝２∶１, 所以 BF AB＝ BC BD＝ ２ ３． 因为∠B＝∠B,所以△BCF∽△BDA, 所以 FC AD＝ BC BD＝ ２ ３ ,∠BCF＝∠BDA, 所以FC∥AD, 所以△CNF∽△AND, 所以 FN ND＝ CF AD＝ ２ ３ ,即FN∶ND＝２∶３． [２．作垂线构造相似三角形] 【例２】如图１Ｇ１５,在等腰三角形 ABC 中,AB＝AC＝１０cm,BC＝１６cm．点 D 由点A 出发沿AB 方向向点B 匀速 运动,同时点E 由点B 出发沿BC 方 向向点C 匀速运动,它们的速度均为 １cm/s．连接 DE,设运动时间为t(单 位:s)(０＜t＜１０),解答下列问题: (１)当t 为何值时,△BDE 的面积为 ７．５cm２? (２)在点 D,E 的运动过程中,是否存 在时 间t,使 得 △BDE 与 △ABC 相 似? 若存在,请求出对应的时间t;若 不存在,请说明理由． 第１章　图形的相似 ４５　 A D B E C 图１Ｇ１５ 解 (１)分别过点D,A 作DF⊥BC,AG⊥ BC,垂 足 分 别 为 F,G,如 图 １Ｇ１６ 所示, A D B E CF G 图１Ｇ１６ 则DF∥AG,所以 DF AG＝ BD AB． 因为AB＝AC＝１０cm,BC＝１６cm, 所以BG＝８cm,所以AG＝６cm． 因为AD＝BE＝tcm, 所以BD＝(１０－t)cm, 所以 DF ６ ＝ １０－t １０ , 解得DF＝ ３ ５ (１０－t)cm． 因为S△BDE＝ １ ２BE 􀅰DF＝７．５cm２, 所以 ３ ５ (１０－t)􀅰t＝１５,解得t＝５． 答:当t 为５s时,△BDE 的面积为 ７．５cm２．　 (２)存在． 当BE＝DE 时,△BDE∽△BCA, 所以 BE AB＝ BD BC ,即t １０＝ １０－t １６ , 解得t＝ ５０ １３． 当BD＝DE 时,△BDE∽△BAC, 所以 BE BC＝ BD AB ,即t １６＝ １０－t １０ , 解得t＝ ８０ １３． 答:存在时间t为 ５０ １３s 或 ８０ １３s 时,使得 △BDE 与△ABC 相似． [３．作中线或中位线构造相似三角形] 图１Ｇ１７ 【例 ３】 如 图 １Ｇ１７,在 △ABC 中,AB ＝AC, AD ⊥BC 于 点 D,作 DE⊥AC 于点E,F 是 AB 的中点,连接EF 交 AD 于点G． (１)求证:AD２＝AB􀅰AE; (２)若AB＝５,AE＝４,求DG 的长． (１)证明 因为DE⊥AC,AD⊥BC, 所以∠AED＝∠ADC＝９０°． 因为∠DAE＝∠CAD, 所以△ADE∽△ACD, 所以AD∶AC＝AE∶AD, 所以AD２＝AC􀅰AE． 又因为AB＝AC, 所以AD２＝AB􀅰AE． 图１Ｇ１８ (２)解 连接DF,如图１Ｇ １８所示． 由(１),得 AD２＝AB􀅰 AE,　 所以AD２＝AB􀅰AE＝ ５×４＝２０, 所以AD＝２５． 因为AB＝AC,AD⊥BC, 所以BD＝CD． 因为F 是AB 的中点, 所以DF 是△ABC 的中位线, 所以DF＝ １ ２AC＝ ５ ２ ,DF∥AC, 所以△DFG∽△AEG, 所以 DG AG＝ DF AE＝ ５ ２ ４＝ ５ ８ , 所以 DG AD＝ ５ １３ , 所以DG＝ ５ １３AD＝ ５ １３×２５＝ １０５ １３ ．