第1章 模型专题 相似三角形几种常见解题模型-【教材解读】2023秋九年级上册初三数学（青岛版)

第１章　图形的相似 ４１　 模型专题 模型一　A字模型及其变形 A B C D E ① 　　 A B C D E ② 图１Ｇ１ (１)如图１Ｇ１①,DE∥BC ⇒△ADE∽ △ABC⇒ AD AB＝ AE AC＝ DE BC． (２)如图１Ｇ１②,∠ADE＝∠B⇒△ADE∽ △ABC⇒ AD AB＝ AE AC＝ DE BC． C D FB A E 图１Ｇ２ 【例１】如图１Ｇ２,已知 CD,EF 都与 BD 垂 直,垂足分别是D,F, 且 △ABE ∽ △DCE, AB ＝１,CD ＝３,求 EF 的长． 思路分析 知 条 件 　CD,EF 都 与 BD 垂 直, △ABE∽△DCE,AB＝１, CD＝３． 套模型　A字模型． 解 因为CD,EF 都与BD 垂直, 所以EF∥CD,所以△BEF∽△BCD． 又因为△ABE∽△DCE, 所以 BE CE＝ AB CD＝ １ ３ , 所以 EF CD＝ BE BC＝ BE BE＋CE＝ １ ４． 所以EF＝ １ ４CD＝ ３ ４． 模型二　８字模型及其变形 CD O A B ① 　　 A D B O C ② 图１Ｇ３ (１)如图 １Ｇ３①,AB∥CD ⇒ △AOB∽ △COD⇒ AB CD＝ OA OC＝ OB OD． (２)如图１Ｇ３②,∠A＝∠D⇒△AOB∽ △DOC⇒ AB DC＝ OA OD＝ OB OC． C O B D A 图１Ｇ４ 【例２】如图１Ｇ４,已知 线段AB 与CD 相交 于点O,OA＝４,OD＝ ３,OC＝８,OB＝６,求 证:△AOC∽△DOB． 思路分析 知 条件 　OA ＝４,OD ＝３,OC＝８, OB＝６． 数学　九年级　上册 ４２　 套模型　８字模型． 证明 因 为 OA ＝４,OD ＝３,OC ＝８, OB＝６, 所以 OD OA＝ OB OC＝ ３ ４． 又因为∠AOC＝∠BOD, 所以△AOC∽△DOB． 模型三　K字模型 　　K 字模型也叫一线三等角模型,如 图１Ｇ５①所示．当∠α＝９０°时,一线三等角 就变成了一线三直角模型,如图１Ｇ５② 所示． ααα β β A B C D E ① 　 A B C D E β β ② 图１Ｇ５ 　　 在 图 １Ｇ５① 和 图 １Ｇ５② 中,均 有 △ABC∽△CDE,则 AB CD＝ BC DE＝ AC CE． A D F B E C 图１Ｇ６ 【例３】如图１Ｇ６,在△ABC 中,AB＝AC,点 E 在 边 BC 上移动(点 E 不与点 B,C 重合),满足∠DEF＝ ∠B,且点 D,F 分别在边 AB,AC 上．求证:△BDE∽ △CEF．　 思路分析 知条件　AB＝AC,∠DEF＝∠B． 套模型　K字模型． 证明 因为AB＝AC,所以∠B＝∠C． 因为∠BDE＝１８０°－∠B－∠DEB, ∠CEF ＝１８０°－ ∠DEF － ∠DEB, ∠DEF＝∠B, 所以∠BDE＝∠CEF, 所以△BDE∽△CEF． 模型四　手拉手模型 　　手拉手模型的常见图形如图１Ｇ７② 所示． A B D O C A B C D E O 　　　　　　①　　　　　② 图１Ｇ７ 　　 条件:CD ∥AB,将图 １Ｇ７① 中的 △OCD 旋转至图１Ｇ７②中的位置． 　 　 结 论:在 图 １Ｇ７② 中,△OCD ∽ △OAB⇒△OAC∽△OBD,且延长 AC 交BD 于点E,必有∠BEC＝∠BOA． 【例４】如图１Ｇ８,点B,D,E 在一条直线 上,BE 交AC 于点F, AB AD ＝ AC AE ,且 ∠BAD＝∠CAE． (１)求证:△ABC∽△ADE; (２)求证:△AEF∽△BCF． B D F E A C 图１Ｇ８ 第１章　图形的相似 ４３　 思路分析 知 条 件 　 AB AD ＝ AC AE ,且 ∠BAD ＝ ∠CAE． 套模型　手拉手模型． 证明 (１)因为∠BAD＝∠CAE, 所以∠BAD＋∠CAD＝∠CAE＋∠CAD, 即∠BAC＝∠DAE． 又因为 AB AD＝ AC AE , 所以△ABC∽△ADE． (２)因为△ABC∽△ADE, 所以∠C＝∠E． 又因为∠AFE＝∠BFC, 所以△AEF∽△BCF． 模型五　母子型模型 (１)母子型的基本图形 如图１Ｇ９,已知∠ACD＝∠ABC, 结论:△ACD∽△ABC,AC２＝AD􀅰AB． B C A D 图１Ｇ９ (２)母子型的特殊图形 如图１Ｇ１０,已知△ABC 是直角三角形, CD 为斜边AB 上的高． A D B C 图１Ｇ１０ 则△ABC∽△ACD,AC２＝AD􀅰AB, △ABC∽△CBD,BC２＝BD􀅰AB, △ACD∽△CBD,CD２＝AD􀅰BD． 【例５】如图１Ｇ１１,BD 是 Rt△ABC 斜边 AC 上的高,DE⊥AB 于点E