2.4 解直角三角形-【教材解读】2023秋九年级上册初三数学（青岛版)

第２章　解直角三角形 ７５　 M  > M ２．４　解直角三角形 知识点一　解直角三角形的概念 １．由直角三角形中已知的元素求出未知元素的过程,叫 做解直角三角形． ２．解直角三角形的依据 在Rt△ABC 中,∠C＝９０°,∠A,∠B,∠C 的对边依 次是a,b,c,则有: (１)两锐角之间的关系:∠A＋∠B＝９０°; (２)三边之间的关系:a２＋b２＝c２; (３)边角之间的关系: sinA＝ ∠A 的对边 斜边 ＝ a c ,sinB＝ ∠B 的对边 斜边 ＝ b c ; cosA＝ ∠A 的邻边 斜边 ＝ b c ,cosB＝ ∠B 的邻边 斜边 ＝ a c ; tanA＝ ∠A 的对边 ∠A 的邻边＝ a b ,tanB＝ ∠B 的对边 ∠B 的邻边＝ b a． ３．解直角三角形的类型及解法 图示 已知 类型 已知条件 解法与步骤 两边 斜边,一条直 角 边 (如c, a) (１)b＝ c２－a２ ; (２)由sinA＝ a c ,求∠A; (３)∠B＝９０°－∠A 两条 直 角 边 a,b　 (１)c＝ a２＋b２ ; (２)由tanA＝ a b ,求∠A; (３)∠B＝９０°－∠A 一边 一角 斜边,一个锐 角(如c,∠A) (１)∠B＝９０°－∠A; (２)由sinA＝ a c ,得a＝c􀅰sinA; (３)由cosA＝ b c ,得b＝c􀅰cosA 一条直角边, 一个锐角(如 a,∠A) (１)∠B＝９０°－∠A; (２)由tanA＝ a b ,得b＝ a tanA ; (３)由sinA＝ a c ,得c＝ a sinA (１)除直角以外,如果知 道直角三角形的两个元素(至 少一个是边),就可以求其他 的元素了(知二求三)． (２)解直角三角形的前提 条件是在直角三角形中,如果 没有直角三角形,那么需要添 加辅助线构造直角三角形进 行计算． (１)若 求 边:① 已 知 直角 三 角 形 的 两 边 可 用 勾股定理;②已知一边一 角,用已知的三角比计算 更方便． (２)若 求 角:① 已 知 一个锐角,用两个锐角互 余求另一个角;②已知两 边,用三角比计算更方便． 数学　九年级　上册 ７６　    U? U  L>F + DD >U !L 解直角三角形的原则 　　(１)有斜(斜边)用弦(正 弦、余弦),无斜用切:当已知 或求解中有斜边时,就用正弦 或余弦,无斜边时,就用正切． 　　(２)宁乘勿除:当所求的 元素既可用乘法又可用除法 时,尽量用乘法,不用除法． 　　(３)取原避中:当既可用 原始数据求解又可用中间数 据求解时,要用原始数据,尽 量避免用中间数据． 【例１】根据下列条件解直角三角形． (１)在Rt△ABC 中,∠C＝９０°,a＝５,c＝５２; (２)在Rt△ABC 中,∠C＝９０°,c＝４３,∠A＝６０°; (３)在Rt△ABC 中,∠C＝９０°,a＝６,b＝２３; (４)在 Rt△ABC 中,∠C＝９０°,b＝１５,∠A＝４２°６′ (精确到０．０１)． 解 (１)因为sinA＝ a c＝ ５ ５２ ＝ ２ ２ ,所以∠A＝４５°． 所以∠B＝９０°－∠A＝４５°． 所以∠A＝∠B＝４５°,b＝a＝５． (２)因为∠A＝６０°,所以∠B＝９０°－∠A＝３０°． 因为sinA＝ a c ,所以a＝c􀅰sinA＝４３􀅰sin６０°＝６． 所以b＝c２－a２ ＝ (４３)２－６２ ＝２３． (３)因为∠C＝９０°,a＝６,b＝２３, 所以c＝ a２＋b２ ＝ ６２＋(２３)２ ＝４３． 因为tanA＝ a b＝ ６ ２３ ＝ ３,所以∠A＝６０°． 所以∠B＝９０°－∠A＝９０°－６０°＝３０°． (４)因为∠A＝４２°６′,所以∠B＝９０°－∠A＝９０°－ ４２°６′＝４７°５４′． 因为tanA＝ a b ,所以a＝b􀅰tanA＝１５􀅰tan４２°６′≈１３．５５． 因为cosA＝ b c ,所以c＝ b cosA＝ １５ cos４２°６′≈２０．２２． 解直角三角形,注意三点不用愁 (１)解直角三角形时,应求出所有未知元素． (２)尽可能选择包含所求元素与两个已知元素的 关系式,这样求得的结果更精确． (３)若需要使用计算器计算,则计算结果应符合 题目要求的精确度． 第２章　解直角三角形 ７７　 知识点二　求非直角三角形中的边和角 　将非直角三角形问题转化为直角三角形问题,具体可 以归纳为以下几种情况: (１)作高可以把锐角三角形或钝角三角形转化为两个 直角三角形; (２)作高可以把平行四边形、梯形转化为含直角三角 形的图形; (３)连接对角线可以把菱形和正方形转化为含直角三 角形的图形． 【例２】在△ABC 中,已知AB