第6期 2.4 解直角三角形 2.5 解直角三角形的应用（参考答案见8期）-【数理报】2024-2025学年九年级(中考)数学学案（青岛版）

书 （上接４版参考答案） １７．（１）过点 Ｃ作 ＣＤ⊥ＡＢ，垂足为 Ｄ，在 Ｒｔ△ＡＣＤ中，ｔａｎＡ＝ＣＤＡＤ ＝４３，所以设ＣＤ＝４ｋ， 则ＡＤ＝３ｋ，由勾股定 理， 得 ＡＣ ＝ ＡＤ２＋ＣＤ槡 ２ ＝ （３ｋ）２＋（４ｋ）槡 ２ ＝ ５ｋ，因为 ＡＣ＝１５，所以 ５ｋ＝１５，解得ｋ＝３，所 以ＡＤ＝９，ＣＤ＝１２，所 以 Ｓ△ＡＢＣ ＝ １ ２ＡＢ·ＣＤ ＝ １２×１５×１２＝９０． （２） 在 Ｒｔ△ＢＣＤ 中，ＢＤ＝ＡＢ－ＡＤ＝１５ －９＝６，ＣＤ＝１２，所以 由勾股定理，得 ＢＣ＝ ＣＤ２＋ＢＤ槡 ２ ＝ 槡６ ５， 所以ｃｏｓＢ＝ＢＤＣＢ＝ ６ 槡６５ ＝槡５５，所以∠Ｂ的余弦 值为槡 ５ ５． １８．（１）过点 Ａ作 ＡＤ⊥ＢＣ，交ＢＣ的延长 线于点 Ｄ，在 Ｒｔ△ＡＤＣ 中，ＡＣ＝４，因为∠ＡＣＢ ＝１５０°，所以∠ＡＣＤ＝ ３０°，所以ＡＤ＝１２ＡＣ＝ ２，ＣＤ＝ＡＣ·ｃｏｓ３０°＝ ４ ×槡３２ ＝ 槡２３， 在 Ｒｔ△ＡＢＤ中，ｔａｎＢ ＝ ＡＤ ＢＤ＝ ２ ＢＤ ＝ １ ８，所以 ＢＤ＝１６，所以ＢＣ＝ＢＤ －ＣＤ＝１６－ 槡２３． （２）在 ＢＣ边上取 一点Ｍ，使得 ＣＭ ＝ＡＣ ＝４，连接 ＡＭ，因为 ∠ＡＣＢ ＝１５０°，所以 ∠ＡＭＣ ＝ ∠ＭＡＣ ＝ １５°，因为ＣＤ＝ 槡２３，所 以ＭＤ＝４＋ 槡２３，所以 ｔａｎ１５°＝ｔａｎ∠ＡＭＤ＝ 书 上期２版 ２．１锐角三角比（第一课时） 基础训练　１．Ｂ；　２．Ｃ；　３．Ｄ；　４．１２１３；　５．４． ６．因为 ∠Ｃ＝９０°，∠ＡＤＣ＝４５°，所以 ∠ＤＡＣ＝ ∠ＡＤＣ＝４５°，所以ＡＣ＝ＣＤ，因为ＢＤ＝２ＤＣ，所以ＢＣ＝ ３ＡＣ，所以ＡＢ＝ ＡＣ２＋ＢＣ槡 ２ ＝槡１０ＡＣ，所以ｓｉｎ∠ＡＢＣ ＝ＡＣＡＢ＝ 槡１０ １０． 能力提高　７．因为ＡＢ＝ＡＣ，ＡＣ＝１５，所以 ＡＢ＝ １５，因为ＢＤ⊥ＡＣ，所以∠ＡＤＢ＝９０°，因为ｃｏｓＡ＝ＡＤＡＢ＝ ４ ５，所以ＡＤ＝ ４ ５×１５＝１２，所以ＣＤ＝ＡＣ－ＡＤ＝１５ －１２＝３，在 Ｒｔ△ＡＢＤ中，根据勾股定理，可得 ＢＤ＝ ＡＢ２－ＡＤ槡 ２ ＝ １５２－１２槡 ２ ＝９． ２．１锐角三角比（第二课时） 基础训练　１．Ｄ；　２．Ｃ；　３．６；　４．槡７３；　５． ６ ５． ６．因为∠Ｃ＝９０°，ＡＣ＝３，ｔａｎ∠ＣＤＡ＝３２，所以 ＡＣ ＣＤ ＝３２，所以ＣＤ＝２，因为Ｄ为ＢＣ的中点，所以ＣＢ＝２ＣＤ ＝４，所以ＡＢ＝５． ２．２　３０°，４５°，６０°角的三角比 基础训练　１．Ｃ；　２．Ｂ；　３．Ｂ；　４．７５；　５．槡２３３； ６．等腰直角． ７．（１）原式 ＝２×１２－１＋（ 槡３ ２） ２ ＝ ３４； （２）原式 ＝槡２×槡 ２ ２－ １ ２＋（槡３） ２＝１－１２＋３＝ ７ ２． 能力提高 　８．因为槡３２ ＜ｃｏｓＡ＜ｃｏｓＢ， 槡３ ２ ＝ ｃｏｓ３０°，当０＜α＜９０°，α越大，ｃｏｓα越小，所以∠Ｂ＜ ∠Ａ＜３０°． ２．３用计算器求锐角三角比 基础训练　１．Ａ；　２．Ｃ；　３．Ｂ；　４．７；　５．１０．３４． 上期３版 一、题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ａ Ｂ Ｄ Ａ Ａ Ｂ Ｂ Ｂ 二、９．６０°；　１０．５７；　１１．槡４２；　１２． 槡２２ ３；　１３． １ ４； １４．槡２１７ ． 三、１５．（１）原式 ＝ （槡３） ２＋２×槡２２ ２×（槡３２） ２－１２ ＝３＋槡２３ ２－ １ ２ ＝３ ＋槡２； （２）原式 ＝槡３×槡 ３ ３＋ 槡２ ２× 槡２ ２＋（ 槡３ ２） ２×１２ ＝１ ＋１２＋ ３ ４× １ ２ ＝ １５ ８． １６．在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ＡＣ＝３，ＢＣ＝４，所以 由勾股定理，得ＡＢ＝ ３２＋４槡 ２ ＝５，所以ｓｉｎＡ＝ＢＣＡＢ＝ ４ ５，ｃｏｓＡ＝ ＡＣ ＡＢ＝ ３ ５，ｔａｎＡ＝ ＢＣ ＡＣ＝ ４ ３． 书 重点集训营 １．如图１，某中学依山而建，校门Ａ处有一坡度ｉ＝ ５∶１２的斜坡ＡＢ，长度为１３米，在坡顶Ｂ处看教学楼ＣＦ 的楼顶Ｃ的仰角∠ＣＢＦ＝４５°，离Ｂ点４米远的Ｅ处有 一个花台，在Ｅ处仰望Ｃ的仰角是∠ＣＥＦ＝６０°，ＣＦ的 延长线交校门处的水平面于点Ｄ，求楼顶Ｃ的高度 ＣＤ（结果保留根号）． ２．鹏鹏和好朋友一起旅游．如图２，他们租住的宾 馆ＡＢ坐落在坡度为ｉ＝１∶２４的斜坡ＢＤ上．宾馆ＡＢ 高为１２９米．鹏鹏在宾馆顶楼的海景房Ａ处向外看风 景，发现宾馆前有一座雕像Ｃ（雕像的高度忽略不计）， 已知雕像Ｃ距离海岸线Ｄ的距离ＣＤ为２６０米，与宾馆 ＡＢ的水平距离为３６米，远处海面上一艘即将靠岸的轮 船Ｅ的俯角为２７°． （１）求ＢＣ的长度； （２）求轮船Ｅ距离海岸线Ｄ的距离ＥＤ的长（结果 保留整数，参考数据：ｔａｎ２７°≈０５１，ｓｉｎ２７°≈０４５）． 辅助线周周练 １．如图１，在△ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ＝９０°，Ｄ为ＢＣ的中 点，点Ｅ在ＡＢ上，ＡＤ，ＣＥ交于点Ｆ，ＡＥ＝ＥＦ＝４，ＦＣ＝ ９，则ｃｏｓ∠ＡＣＢ的值为． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ２．如图２，△ＡＢＣ中，ＣＤ为边ＡＢ上的中线，点Ｅ在 ＡＣ上，连接ＢＥ交ＣＤ于点Ｆ，∠ＢＥＣ＝１２０°，ＢＦ＝ＡＥ ＋ＥＦ，若ＡＢ＝槡４７，ＡＥ＝８，则ＣＤ的长为． 【提示】 １．延长ＡＤ到Ｍ，使得ＤＭ＝ＤＦ，连接ＢＭ．利用 全等三角形的性质证明ＢＭ＝ＣＦ＝９，ＡＢ＝ＢＭ，利 用勾股定理求出ＢＣ，ＡＣ即可解决问题． ２．延长ＢＥ到Ｔ，使得ＥＴ＝ＡＥ，连接ＡＴ，过点Ａ 作ＡＪ⊥ＢＥ于Ｊ，过点Ｅ作ＥＫ⊥ＣＤ于Ｋ．解直角三 角形求出ＡＴ，ＢＴ，再利用三角形中位线定理求出 ＤＦ，根据相似三角形对应边成比例求出ＣＦ可得结 论． 书 重点集训营 １．如图１，某中学依山而建，校门Ａ处有一坡度ｉ＝ ５∶１２的斜坡ＡＢ，长度为１３米，在坡顶Ｂ处看教学楼ＣＦ 的楼顶Ｃ的仰角∠ＣＢＦ＝４５°，离Ｂ点４米远的Ｅ处有 一个花台，在Ｅ处仰望Ｃ的仰角是∠ＣＥＦ＝６０°，ＣＦ的 延长线交校门处的水平面于点 Ｄ，求楼顶 Ｃ的高度 ＣＤ（结果保留根号）． ２．鹏鹏和好朋友一起旅游．如图２，他们租住的宾 馆ＡＢ坐落在坡度为ｉ＝１∶２４的斜坡ＢＤ上．宾馆ＡＢ 高为１２９米．鹏鹏在宾馆顶楼的海景房 Ａ处向外看风 景，发现宾馆前有一座雕像Ｃ（雕像的高度忽略不计）， 已知雕像Ｃ距离海岸线Ｄ的距离ＣＤ为２６０米，与宾馆 ＡＢ的水平距离为３６米，远处海面上一艘即将靠岸的轮 船Ｅ的俯角为２７°． （１）求ＢＣ的长度； （２）求轮船Ｅ距离海岸线Ｄ的距离ＥＤ的长（结果 保留整数，参考数据：ｔａｎ２７°≈０５１，ｓｉｎ２７°≈０４５）． 辅助线周周练 １．如图１，在△ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ＝９０°，Ｄ为ＢＣ的中 点，点Ｅ在ＡＢ上，ＡＤ，ＣＥ交于点Ｆ，ＡＥ＝ＥＦ＝４，ＦＣ＝ ９，则ｃｏｓ∠ＡＣＢ的值为 ． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ２．如图２，△ＡＢＣ中，ＣＤ为边ＡＢ上的中线，点Ｅ在 ＡＣ上，连接ＢＥ交ＣＤ于点Ｆ，∠ＢＥＣ＝１２０°，ＢＦ＝ＡＥ ＋ＥＦ，若ＡＢ＝ 槡４７，ＡＥ＝８，则ＣＤ的长为 ． 【提示】 １．延长ＡＤ到Ｍ，使得ＤＭ＝ＤＦ，连接ＢＭ．利用 全等三角形的性质证明ＢＭ＝ＣＦ＝９，ＡＢ＝ＢＭ，利 用勾股定理求出ＢＣ，ＡＣ即可解决问题． ２．延长ＢＥ到Ｔ，使得ＥＴ＝ＡＥ，连接ＡＴ，过点Ａ 作ＡＪ⊥ＢＥ于Ｊ，过点Ｅ作ＥＫ⊥ＣＤ于Ｋ．解直角三 角形求出 ＡＴ，ＢＴ，再利用三角形中位线定理求出 ＤＦ，根据相似三角形对应边成比例求出 ＣＦ可得结 论． 书 例１　在一次综合实践活 动中，某小组对一建筑物进行 测量．如图１，在山坡坡脚Ｃ处 测得该建筑物顶端 Ｂ的仰角 为６０°，沿山坡向上走２０ｍ到 达Ｄ处，测得建筑物顶端Ｂ的 仰角为３０°．已知山坡坡度ｉ＝ ３∶４，即ｔａｎθ＝ ３４，请你帮助该小组计算建筑物的高度 ＡＢ（结果精确到０．１ｍ，参考数据：槡３≈１７３２）． 解：作ＤＥ⊥ＡＣ交ＡＣ于点Ｅ，作ＤＦ⊥ＡＢ交ＡＢ于 点Ｆ，作ＣＨ⊥ＤＦ交ＤＦ于点Ｈ，则ＤＥ＝ＡＦ，ＨＦ＝ＡＣ， ＤＨ＝ＣＥ，因为ｔａｎθ＝３４，所以设ＤＥ＝３ｘｍ，则ＣＥ＝ ４ｘｍ，在Ｒｔ△ＣＤＥ中，∠Ｅ＝９０°，由勾股定理，得（３ｘ）２＋ （４ｘ）２ ＝２０２，解得ｘ＝４（负值舍去），所以ＤＥ＝ＡＦ＝ １２ｍ，ＣＥ＝ＤＨ＝１６ｍ． 设ＢＦ＝ｙｍ，则ＡＢ＝（ｙ＋１２）ｍ，在Ｒｔ△ＢＤＦ中，∠ＢＤＦ ＝３０°，因为ｔａｎ∠ＢＤＦ＝ＢＦＤＦ＝ 槡３ ３，所以ＤＦ＝槡３ｙｍ． 在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝６０°，因为ｔａｎ∠ＡＣＢ＝ＡＢＡＣ ＝槡３，所以ＡＣ＝ＨＦ＝槡 ３ ３（ｙ＋１２）ｍ． 因为ＤＦ－ＦＨ＝ＤＨ，所以槡３ｙ－槡 ３ ３（ｙ＋１２）＝１６， 解得ｙ＝６＋ 槡８３，所以ＡＢ＝ＢＦ＋ＦＡ＝６＋ 槡８３＋１２＝ １８＋ 槡８３≈３１９（ｍ）． 答：该建筑物ＡＢ的高度约为３１．９ｍ． 例２　如图２，市民甲在 Ｃ处看见飞机 Ａ的仰角为 ４５°，同时另一市民乙在斜坡 ＣＦ上的 Ｄ处看见飞机 Ａ的 仰角为３０°，若斜坡ＣＦ的坡 比 ＝１∶３，铅垂高度 ＤＧ＝ ３０米（点Ｅ，Ｇ，Ｃ，Ｂ在同一水 平线上）．求： （１）两位市民甲、乙之间的距离ＣＤ； （２）此时飞机的高度ＡＢ（结果保留根号）． 解：（１）由题意，得ＤＧＣＧ＝ １ ３，因为ＤＧ＝３０米，所以 ＣＧ＝９０（米）， 在Ｒｔ△ＣＤＧ中，由勾股定理，得ＣＤ＝ ＤＧ２＋ＣＧ槡 ２ ＝ 槡３０ １０（米）． 答：两位市民甲、乙之间的距离为 槡３０ １０米． （２）过点Ｄ作ＤＨ⊥ＡＢ于点Ｈ，则四边形ＢＨＤＧ是 矩形，所以ＢＨ＝ＤＧ＝３０米，ＤＨ＝ＢＧ， 因为∠ＡＢＣ＝９０°，∠ＡＣＢ＝４５°，所以△ＡＢＣ是等 腰直角三角形，所以ＡＢ＝ＢＣ，设ＡＢ＝ＢＣ＝ｘ米，则ＡＨ ＝ＡＢ－ＢＨ＝（ｘ－３０）米，ＤＨ＝ＢＧ＝ＣＧ＋ＢＣ＝（ｘ＋ ９０）米． 在Ｒｔ△ＡＤＨ中，∠ＡＤＨ＝３０°，所以ｔａｎ∠ＡＤＨ＝ＡＨＤＨ ＝槡３３，即 ｘ－３０ ｘ＋９０＝ 槡３ ３，解得ｘ＝ 槡６０３＋９０，所以ＡＢ＝ （ 槡６０３＋９０）米． 答：此时飞机的高度ＡＢ为（ 槡６０３＋９０）米． 【对应练习见《重点集训营》】 书 一、转化思想 例１　 如图 １，在 △ＡＢＣ 中，∠Ｂ＝３０°，ＡＣ＝２，ｃｏｓＣ ＝ ３５， 则 ＡＢ 边 的 长 为 ． 解析：过点Ａ作ＡＤ⊥ＢＣ于点Ｄ，因为ｃｏｓＣ＝ＣＤＡＣ＝ ３ ５，ＡＣ＝２，所以ＣＤ＝ ６ ５， 在Ｒｔ△ＡＣＤ中，由勾股定理易求得ＡＤ＝８５，又因为 ∠Ｂ＝３０°，所以ＡＢ＝２ＡＤ＝１６５．故填 １６ ５． 二、分类讨论思想 例２　已知ＡＤ是△ＡＢＣ中ＢＣ边上的高，ｔａｎ∠ＡＢＤ ＝ ４３，ＡＢ＝５，ＢＣ＝６，则ＣＤ的长为 ． 解析：如图 ２，当 △ＡＢＣ是锐角三角形时，在 Ｒｔ△ＡＢＤ中，ｔａｎ∠ＡＢＤ＝ＡＤＢＤ＝ ４ ３，所以设ＡＤ＝４ｘ，ＢＤ ＝３ｘ，在Ｒｔ△ＡＢＤ中，由勾股定理得（３ｘ）２＋（４ｘ）２＝５２， 解得ｘ＝１（负值舍去），所以ＢＤ＝３，所以ＣＤ＝ＢＣ－ＢＤ ＝３； 如图３，当△ＡＢＣ是钝角三角形时，同理可得ＢＤ＝ ３，所以ＣＤ＝ＢＣ＋ＢＤ＝９． 综上所述，ＣＤ的长为３或９．故填３或９． 三、方程思想 例３　如图４，一送餐 机器人从世界餐台 Ａ处向 正南方向走２００米到达亚 洲餐台Ｂ处，再从Ｂ处向正 东方向走５００米到达中餐 餐台Ｃ处，然后从Ｃ处向北 偏西３７°走到就餐区Ｄ处， 最后从Ｄ回到Ａ处，已知就餐区Ｄ在Ａ的北偏东７３°方 向，则中餐餐台 Ｃ到就餐区 Ｄ（即 ＣＤ）的距离是 米（结果保留整数，参考数值：ｓｉｎ７３°≈ １９２０， ｃｏｓ７３°≈ ２９１００，ｔａｎ７３°≈ １０ ３，ｓｉｎ３７°≈ ３ ５，ｃｏｓ３７°≈ ４ ５， ｔａｎ３７°≈ ３４）． 解析：设ＣＤ为ｘ米，由题意知∠ＥＣＤ＝３７°，∠ＭＡＤ ＝７３°，则 ＣＥ＝ＣＤｃｏｓ３７°＝ ４５ｘ，ＤＥ＝ＣＤｓｉｎ３７°＝ ３ ５ｘ，所以ＭＤ＝５００－ ３ ５ｘ，所以ＡＭ＝ ＭＤ ｔａｎ７３°＝１５０－ ９ ５０ｘ， 因为ＡＢ＋ＡＭ＝ＢＭ＝ＣＥ，所以２００＋１５０－９５０ｘ＝ ４ ５ｘ，解得ｘ＝ ２５００ ７ ≈３５７．故填３５７． 书 一、与坐标系相结合 例１　如图１，在平面直角坐 标系内有一点 Ｐ（３，４），连接 ＯＰ， 则ＯＰ与ｘ轴正方向所夹锐角α的 正弦值是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．３４ Ｂ． ４ ３ Ｃ．３５ Ｄ． ４ ５ 解析：过点Ｐ作ＰＭ⊥ｘ轴于点Ｍ，因为Ｐ（３，４），所 以ＰＭ ＝４，ＯＭ＝３，由勾股定理得ＯＰ＝５，所以ｓｉｎα ＝ＰＭＯＰ＝ ４ ５．故选Ｄ． 二、与四边形相结合 例２　 如图２，在矩形纸片 ＡＢＣＤ中，ＡＢ ＝５，ＢＣ ＝３，将 △ＢＣＤ沿 ＢＤ折叠到 △ＢＥＤ位 置，ＤＥ 交 ＡＢ 于 点 Ｆ， 则 ｃｏｓ∠ＡＤＦ的值为 （　　） Ａ．８１７ Ｂ． ７ １５ Ｃ．１５１７ Ｄ． ８ １５ 解析：因为四边形ＡＢＣＤ为矩形，所以ＣＤ＝ＡＢ＝ ５，ＡＤ＝ＢＣ＝３，∠Ａ＝∠Ｃ＝９０°． 根据折叠可知，ＢＥ＝ＢＣ＝３，ＤＥ＝ＤＣ＝５，∠Ｅ＝ ∠Ｃ ＝ ９０°， 所 以 在 △ＡＦＤ 和 △ＥＦＢ 中， ∠Ａ＝∠Ｅ＝９０°， ∠ＡＦＤ＝∠ＥＦＢ， ＡＤ＝ＢＥ＝３ { ， 所以 △ＡＦＤ≌ △ＥＦＢ（ＡＡＳ），所 以ＡＦ＝ＥＦ，ＤＦ＝ＢＦ， 设ＡＦ＝ＥＦ＝ｘ，则ＢＦ＝５－ｘ，在Ｒｔ△ＢＥＦ中，由 勾股定理，得（５－ｘ）２＝ｘ２＋３２，解得ｘ＝８５，则ＤＦ＝ ＢＦ＝５－８５＝ １７ ５，所以ｃｏｓ∠ＡＤＦ＝ ＡＤ ＤＦ＝ １５ １７．故选Ｃ． 三、与旋转结合 例３　如图３，在Ｒｔ△ＡＢＣ 中，∠Ｃ＝９０°，ＡＣ＝６，ＢＣ＝８， 将△ＡＢＣ绕点Ａ逆时针旋转得 到△ＡＢ′Ｃ′，使点Ｃ′落在ＡＢ边 上，连接 ＢＢ′，则 ｓｉｎ∠ＢＢ′Ｃ′的 值为 （　　） Ａ．３５ Ｂ． ４ ５ Ｃ．槡５５ Ｄ． ２槡５ ５ 解析：在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ＡＣ＝６，ＢＣ＝８， 由勾股定理得ＡＢ＝ ＡＣ２＋ＢＣ槡 ２ ＝１０． 由旋转的性质可知，ＡＣ′＝ＡＣ＝６，Ｂ′Ｃ′＝ＢＣ＝ ８，∠ＡＣ′Ｂ′＝∠Ｃ＝９０°，所以ＢＣ′＝ＡＢ－ＡＣ′＝１０－ ６＝４，所以在 Ｒｔ△ＢＢ′Ｃ′中，由勾股定理得 ＢＢ′＝ ＢＣ′２＋Ｂ′Ｃ′槡 ２ ＝４槡５，所以ｓｉｎ∠ＢＢ′Ｃ′＝ ＢＣ′ ＢＢ′＝ 槡５ ５． 故选Ｃ． 书 如图１，在直角三角形 ＡＢＣ中， ∠Ｃ＝９０°，ａ，ｂ，ｃ，∠Ａ，∠Ｂ这五个元 素间有如下关系： （１）锐角之间的关系：∠Ａ＋∠Ｂ ＝ ． （２）三边之间的关系：ａ２＋ｂ２ ＝ （勾股定理）． （３）边角之间的关系： ｓｉｎＡ＝ ａｃ；ｃｏｓＡ＝ ｂ ｃ；ｔａｎＡ＝ ａ ｂ； ｓｉｎＢ＝ ｂｃ；ｃｏｓＢ＝ ａ ｃ；ｔａｎＢ＝ ｂ ａ． 以上三点正是解直角三角形的依据． 我们已经掌握Ｒｔ△ＡＢＣ的边角关系、三边关系、两 角关系，利用这些关系，在知道其中的两个元素（至少有 一个 ）后，就可以求出其他元素．所以把由已 知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形． 例　如图２，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ ＝９０°，∠Ａ＝３０°，ＢＣ＝４，求这个直 角三角形的其他边和角． 解析：因为∠Ａ＋∠Ｂ＝９０°， 所以∠Ｂ＝９０°－∠Ａ＝ ． 因为ｔａｎＡ＝ＢＣＡＣ＝ ４ ＡＣ＝ 槡３ ３，所以ＡＣ＝ ． 因为ｓｉｎＡ＝ＢＣＡＢ＝ ４ ＡＢ＝ １ ２，所以ＡＢ＝ ． 归纳总结： 在解直角三角形中，锐角三角函数是沟通三角形边 角关系的桥梁，只要题目中已知加未知的三个元素中有 边、有角，就可以使用锐角三角函数．那么，如何从三角 函数的公式中迅速而准确地优选出所需要的公式呢？ （１）若求边：一般用未知边比已知边，去寻找已知 角的某个三角函数； （２）若求角：一般用已知边比已知边（正弦、余弦时 斜边作为分母），去寻找未知角的某个三角函数； 在优选公式时，尽量利用已知数据，避免“一错再 错”和“累积误差”． （３）有些图形虽然不是直角三角形，但可添加适当 的辅助线把它们分割成一些直角三角形，从而把它们转 化为直角三角形的问题来解决． ! ! ! " # $ % & ! " ! " ' !!" #$% """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " ( ! )!#"$# * + ! ! ' '! "! " , ! # " ! ' "#$ ! ! ! &' ( ) ! !* +,- " - ' ! " ' - ! ! " ! # #%$ %#$ " ' ! - $%%&'(%& )*%& +%, - . ! $ . / ' " . 0 , - ! " ! ! " #! !"#$ " $"% ! !"#$ ./0 !1$ 2345 63789:;3<= " > % ! !"#$ !"#$%&'" ()*+,-'. %&'()* !*?@A8BC !*?ADEFGHIJK !*?ALMNOPQRSBT 7UVWXYZ2 W[\]^_ `abcdeZ2fg\&'!$()%*%+h,5 & '( ]^_ ) & '( ijk ) # * +, lm_ ) & '( n o ) & '( p q -+./0, l r 12./0, lst *34/5, u v *3467( wxy jz{ | } ~€  ‚ ƒ„, i…† ‡s ˆ x ‰Š€ ‹Œ^ |Ž  i^‘ ’q3 “”} • , –—$ j˜™ 80-+( u š 809:( j ˜ ;<-+( ›œ =>-+,  ž ?@AB, Ÿ ¡ #¢V£¤£2 #¥£Z2 #XY©ª«\*#.!/."%!".0 #¢V¬­\!*®¯°±²³´µ¶ !#" g7UVW6378XY© #·¸X¹\*#***0 #±º©»V¼½\*#.!%."%!!". *#.!%."%!"#%.H¾5 #»¿\ÀÁ¢V±º©­ÂÃÄ`ÅÆ·ÇÈÉ5 #·¸»¿¼½\!!!1. #ÊËÌÍ»ÎÏ»ÐÑ» #¢VÒÄ`Å®h±ÓÔDÕÖ×V #ØÙNOÚÊÛg\!$****$***!!* #ØÙ©ª«\*#.!%."%!".. #¢VÜÝ'"ÞHIßàPQáSÈâã±äå³æçèéêFGë !! gÓìß1íPßîïðñò1ÀÁ¢V±º©­Âóô """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " &#$ ##$ " ," - ' ! ! ' , "1 . - 0 $.$ ##$ ! ' - 0 . " ' , / 0 1 23 ! ! ' , " - . ! " ! õö i ÷ øù#¢Vúòû Èü<ýþÿ $ >5 """""""""""""""""""" ! " " . , 0 - ' " - 0 ' . , ! ! ./0 '!" 2345 书 一、精心选一选（每小题４分，共３２分） 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 １．在 △ＡＢＣ中，ＡＢ＝４，ＢＣ＝５，ｓｉｎＢ＝ ３４，则 △ＡＢＣ的面积为 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．１５ Ｂ．９２ Ｃ．６ Ｄ． １５ ２ ２．如图１是某商场自动扶梯的示意图，自动扶梯ＡＢ 的坡角为３０５°，乘客从扶梯底端升到顶端上升的高度 ＢＣ为５米，则自动扶梯ＡＢ的长为 （　　） Ａ．５ｔａｎ３０５°米 Ｂ．５ｓｉｎ３０５°米 Ｃ． ５ｓｉｎ３０５°米 Ｄ． ５ ｃｏｓ３０５°米 ３．如图２，在△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，ＣＤ是斜边ＡＢ 的中线，过点Ｄ作ＤＥ⊥ＡＣ，垂足为点Ｅ．若ｓｉｎＡ＝１３， ＡＢ＝６，则△ＣＤＥ的周长为 （　　） Ａ．４＋ 槡２２ Ｂ．４＋ 槡４２ Ｃ．６＋ 槡２２ Ｄ．６＋ 槡４２ ４．如图３，为了测量某建筑物 ＡＢ的高度，在平地上 Ｃ处测得建筑物顶端 Ａ的仰角为３０°，沿 ＣＢ方向前进 １８ｍ到达Ｄ处，在Ｄ处测得建筑物顶端Ａ的仰角为４５°， 则建筑物ＡＢ的高度等于 （　　） Ａ．１８（槡３＋１）ｍ Ｂ．１８（槡３－１）ｍ Ｃ．９（槡３＋１）ｍ Ｄ．９（槡３－１）ｍ ５．如图４为单车示意图，ＡＢ与地面平行，点 Ａ，Ｂ，Ｄ 共线，点Ｄ，Ｆ，Ｇ共线，坐垫Ｃ可沿射线ＢＥ方向调节．已 知∠ＡＢＥ＝７０°，车轮半径为２０ｃｍ，当ＢＣ＝６０ｃｍ时，小 明体验后觉得骑着比较舒适，此时坐垫Ｃ离地面高度约 为（结果精确到１ｃｍ，参考数据：ｓｉｎ７０°≈０９４，ｃｏｓ７０° ≈０３４，ｔａｎ７０°≈２７５） （　　） Ａ．８０ｃｍ Ｂ．７２ｃｍ Ｃ．７６ｃｍ Ｄ．７０ｃｍ ６．桔槔示意图如图５所示，ＯＭ是垂直于水平地面 的支撑杆，ＯＭ＝３米，ＡＢ是杠杆，ＡＢ＝６米，ＯＡ∶ＯＢ＝ ２∶１．当点Ａ位于最高点Ａ１时，∠Ａ１ＯＭ＝１２０°．此时，点 Ａ１到地面的距离为 （　　） Ａ．（槡２３＋３）米 Ｂ．５米 Ｃ．６米 Ｄ．７米 ７．如图６所示，河北岸点Ａ处观测到河对岸有一点 Ｃ在Ａ的南偏西６０°的方向上，沿河岸向西前行２０ｍ到 达Ｂ处，又测得Ｃ在Ｂ的南偏西４５°的方向上，请你根据 以上数据，求这条河的宽度为（结果保留根号） （　　） Ａ．（ 槡１０３＋１０）ｍ Ｂ．（ 槡１０３＋２０）ｍ Ｃ．（ 槡２０３＋１０）ｍ Ｄ．（ 槡２０３＋２０）ｍ ８．如图 ７，在 △ＡＢＣ中， ∠ＡＢＣ＝９０°，ｔａｎ∠ＢＡＣ＝１２，ＡＤ ＝２，ＢＤ＝４，连接ＣＤ，则ＣＤ长的 最大值为 （　　） 槡Ａ．２５＋ ３ ４ 槡　　Ｂ．２５＋１ 槡Ｃ．２５＋ ３ ２ 槡　　Ｄ．２５＋２ 二、细心填一填（每小题４分，共２４分） ９．如图８，在△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ为直角，ＣＤ⊥ＡＢ于 点Ｄ，ＢＣ＝３，ＡＢ＝５，则ＤＢ＝ ． １０．如图９，一名患者体内某重要器官后面有一肿瘤 在Ａ处．在接受放射性治疗时，射线从肿瘤右侧１０ｃｍ的 Ｂ处进入身体，且射线与皮肤所成的夹角为 ∠ＣＢＡ＝ ３２．７°，则肿瘤在皮下的深度ＡＣ约为 ｃｍ（参考 数据：ｓｉｎ３２．７°≈０．５４，ｃｏｓ３２．７°≈０．８４，ｔａｎ３２．７°≈ ０．６４）． １１．如图１０，坡角为 α的斜坡上有一棵垂直于水平 地面的大树ＡＢ，当太阳光线与水平线成４５°角沿斜坡照 下时，在斜坡上的树影 ＢＣ长为 ｍ，则大树 ＡＢ的高为 （请用含ｍ，α的式子表示）． １２．如图１１，长尾夹的侧面是△ＡＢＣ，当ＡＣ与ＡＢ张 开到互相平行时，达到最大夹纸厚度，已知 ＡＢ＝ＡＣ＝ １５ｍｍ，∠ＡＣＢ＝７０°，则这个长尾夹最大夹纸厚度为 ｍｍ（结果精确到１ｍｍ，参考数据：ｓｉｎ７０°≈ ０９４，ｃｏｓ７０°≈０３４，ｔａｎ７０°≈２７５）． １３．某古村落为方便游客泊车，准备利用长方形晒 谷场长 ６０ｍ的一侧规划一个停车场，如图 １２，矩形 ＡＥＤＦ为一个停车位，已知ＡＥ＝５．５ｍ，ＡＦ＝２．５ｍ，若 所有停车位都平行排列，且∠ＡＢＤ＝６０°，则这个晒谷场 按规划最多可容纳 个停车位（结果保留整数， 参考数据：槡３≈１７）． １４．学校在校园广场步行梯（折线ＡＢＣＤ）处新建了 学生宿舍安全通道（折线 ＡＥＦ），其剖面示意图如图１３ 所示，广场步行梯ＡＢ，ＣＤ的坡角都是３２°，且ＡＢ＝６米， ＣＤ＝４米，水平部分ＢＣ＝２４米；新建安全通道中水平 部分ＡＥ＝３９米，步梯ＥＦ的坡度ｉ≈０６２．新建安全通 道顶端点Ｆ到广场步行梯底部所在水平面 ＤＧ的距离 ＤＦ的长约为 米（结果精确到０．１米，参考数据： ｓｉｎ３２°≈０５３，ｃｏｓ３２°≈０８５，ｔａｎ３２°≈０６２）． 三、耐心解一解（共４４分） １５．（１０分）如图１４，在 △ＡＢＣ中，ＡＢ＝６，∠Ｂ＝ ３０°，ｔａｎＣ＝３，ＡＤ⊥ＢＣ于点Ｄ，求ＡＤ和ＡＣ的长． １６．（１０分）如图１５所示的是一种太阳能路灯的简 易平面图．华华想知道灯管Ｄ距地面ＡＦ的高度，他在地 面Ｆ处测得灯管Ｄ的仰角为４５°，在地面Ｅ处测得灯管Ｄ 的仰角为５３°，并测得ＥＦ＝２２ｍ，已知点Ａ，Ｅ，Ｆ在同一 条直线上，请根据以上数据帮华华算出灯管Ｄ距地面ＡＦ 的高度（结果精确到 ０１ｍ，参考数据：ｓｉｎ５３°≈ ４５， ｃｏｓ５３°≈ ３５，ｔａｎ５３°≈ ４ ３）． １７．（１２分）正值春日，周末小明姐弟俩在父母的陪 同下来到一片宽广的场所放风筝．小明（Ａ）与姐姐（Ｂ） 一前一后在水平地面 ＡＤ上放风筝，结果风筝在空中 Ｃ 处纠缠在一起，如图１６所示，测得∠ＣＡＤ＝３０°，∠ＣＢＤ ＝６０°，且小明与姐姐之间的距离ＡＢ＝１６ｍ，求此时风 筝Ｃ处距离地面的高度（参考数据：槡３≈１７３２，结果保 留一位小数）． １８．（１２分）如图１７是某货站传送货物的平面示意 图．为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减少传送 带与地面的夹角，使其由３１°改为２２°，已知原传送带ＡＢ 长为５米（参考数据：ｓｉｎ２２°≈ ３８，ｔａｎ２２°≈ ２ ５，ｓｉｎ３１° ≈ １３２５，ｔａｎ３１°≈ ３ ５）． （１）求新传送带ＡＣ的长度； （２）如果需要在货物着地点Ｃ的正前方留出１米的 通道，试判断距离Ｂ点３米的货物ＭＮＱＰ是否需要挪走？ 并说明理由                                                                                                                                                                 ． 书 ２．４解直角三角形 １．如图１，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ｓｉｎＢ＝５１３，点 Ｄ在ＢＣ边上，且ＣＤ＝ＡＣ，连接ＡＤ，若ＡＢ＝１３，则ＢＤ 的长为 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．８ Ｂ．７ Ｃ．６ Ｄ．５ ２．如图２，Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ＝９０°，ＡＢ＝６，ＢＣ＝ ８，Ｄ为ＡＣ边上一点，且ｔａｎ∠ＡＢＤ＝１２，则ＢＤ的长度为 （　　） Ａ． 槡１５５８ 槡Ｂ．２５ Ｃ．５ Ｄ． 槡２４５ １１ ３．如图３，四边形ＯＡＢＣ中，ＯＡ在ｘ轴的正半轴上， ∠ＯＣＢ＝∠ＯＡＢ＝９０°，ＡＢ＝３，ＢＣ＝５，ｃｏｓ∠ＡＯＣ＝ ｃｏｓ∠ＤＣＢ＝ ３５，则点Ｃ的坐标是 ． ４．如图４，在△ＡＢＣ中，ｓｉｎＢ＝１２，ｔａｎＣ＝ 槡２ ２，ＡＢ ＝４，则△ＡＢＣ的面积为 ． ５．如图５，在 △ＡＢＣ中，ＡＤ是 ＢＣ边上的高，ＡＥ是 ＢＣ边上的中线，ｃｏｓＣ＝槡２２，ｓｉｎＢ＝ １ ３，ＡＤ＝１． （１）求ＢＣ的长； （２）求ｔａｎ∠ＤＡＥ的值． ２．５解直角三角形的应用（第一课时） １．如图１，一把梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯 子ＡＢ的长是３米．若梯子与地面的夹角为α，则梯子底 端到墙面的距离ＡＣ为 （　　） Ａ．３ｓｉｎα米 Ｂ．３ｃｏｓα米 Ｃ．３ｓｉｎα 米 Ｄ．３ｃｏｓα 米 ２．如图２，由游客中心Ａ处修建通往百米观景长廊 ＢＣ的两条栈道ＡＢ，ＡＣ，若ＢＣ＝１００ｍ，∠Ｂ＝６０°，∠Ｃ ＝４５°，则游客中心 Ａ到观景长廊的距离 ＡＤ的长为 ｍ（结果保留根号）． ３．如图３，轮船Ｂ在码头Ａ的正 东方向，与码头 Ａ的距离为１００海 里，轮船Ｂ向北航行４０海里到达Ｃ 处时，接到Ｄ处一艘渔船发来的求 救信号，于是沿北偏西４５°方向航 行到Ｄ处，解救渔船后轮船沿南偏 西３２°返回到码头 Ａ，那么码头 Ａ与 Ｄ的距离为 海里（结果保留整数，参考数据：ｓｉｎ３２°≈ ０５，ｃｏｓ３２°≈０８，ｔａｎ３２°≈０６）． ４．如图４，风轩亭Ｂ在翠微阁Ａ的正南方向，两个景 点被一座小山阻隔，计划在 Ａ，Ｂ之间修建一条直通景 观隧道．为测量Ａ，Ｂ两点之间距离，在一条东西方向的 公路ｌ上选择Ｐ，Ｑ两点分别观测Ａ，Ｂ，已知点Ａ在点Ｐ 的北偏东４５°方向上，点Ｂ在点Ｑ的北偏东３０°方向上， ＢＱ＝１２００米，ＰＱ＝２０００米，试求Ａ，Ｂ两点之间的距 离（精确到１米，其中槡２≈１４１，槡３≈１７３）． ５．图５是一辆登高云梯消防车工作示意图，起重臂 ＡＣ（２０米≤ＡＣ≤３０米）是可伸缩的，且起重臂ＡＣ可绕 点Ａ在一定范围内上下转动张角∠ＣＡＥ（９０°≤∠ＣＡＥ ≤１５０°），转动点Ａ距离地面的高度ＡＥ为４米． （１）当起重臂 ＡＣ的长度为２４米，张角 ∠ＣＡＥ＝ １２０°时，云梯消防车最高点Ｃ距离地面的高度ＣＦ的长 为 米； （２）某日一栋大楼突发火灾，着火点距离地面的高 度为２６米，该消防车在这栋楼下能否实施有效救援？请 说明理由（参考数据：槡３≈１７，提示：当起重臂ＡＣ伸到 最长且张角∠ＣＡＥ最大时，云梯顶端 Ｃ可以达到最大 高度）． ２．５解直角三角形的应用（第二课时） １．如图１，在水平地面上有房屋 ＢＣ与一棵树 ＤＥ， 在地面观测点Ａ处观测到屋顶Ｃ与树梢的仰角分别是 ４５°与６０°，已知∠ＤＡＣ＝６０°，∠ＤＣＡ＝９０°，ＢＣ＝５米， 则树高ＤＥ为 （　　） 槡Ａ．６２米 槡Ｂ．６３米 槡Ｃ．５６米 槡Ｄ．１２２米 ２．如图２，在平地和在山坡上树木的株距（相邻两 棵树之间的水平距离）均为４ｍ，已知山坡的坡度为 ０．５，则山坡上相邻两棵树之间的坡面距离为 （　　） 槡 槡Ａ．２３ｍ Ｂ．２５ｍ 槡Ｃ．４３ｍ Ｄ．８ｍ ３．某数学兴趣小组要测量如图３所示的５Ｇ信号塔 ＡＢ的高度，该小组在点Ｄ处测得信号塔顶端 Ａ的仰角 为３０°，在同一平面沿水平地面向前走２０ｍ到达点Ｃ处 （点Ｂ，Ｃ，Ｄ在同一直线上），此时测得顶端 Ａ的仰角为 ６０°，则信号塔ＡＢ的高度为 ｍ． ４．如图４，某校教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上 面是一块平地．已知ＢＣ∥ＡＤ，斜坡ＡＢ长２６ｍ，斜坡ＡＢ 的坡度为１２∶５，为了减缓坡面，防止山体滑坡，学校决 定对该斜坡进行改造，经地质人员勘测，当坡角不超过 ５３°时，可确保山体不滑坡．如果改造时保持坡脚 Ａ不 动，则坡顶Ｂ沿ＢＣ至少向右移动 ｍ时，才能确 保山体不滑坡（取ｔａｎ５３°≈ ４３）． ５．如图５，在河流两边有甲、乙两座山，现在从甲山 Ａ处的位置向乙山Ｂ处拉电线．已知甲山上Ａ点到河边 Ｃ的距离ＡＣ＝１３０米，点Ａ到ＣＤ的垂直高度为１２０米； 乙山ＢＤ的坡比为４∶３，乙山上Ｂ点到河边Ｄ的距离ＢＤ ＝４５０米，从Ｂ处看Ａ处的俯角为２５°（参考数据：ｓｉｎ２５° ≈０４２３，ｃｏｓ２５°≈０９０６，ｔａｎ２５°≈０４６６）． （１）求乙山Ｂ处到河边ＣＤ的垂直距离； （２）求河ＣＤ的宽度（结果保留整数）． 要修建一个地下停车场，停车场的入口设计示意 图如图所示，其中斜面ＡＤ的坡度为１∶３，一楼到地下停 车场地面的垂直高度ＣＤ＝３２米，一楼到地平线的距 离ＢＣ＝１米． （１）求斜面ＡＤ的长度（结果保留整数）； （２）如果送货的货车高度为２．８米，那么按这样的 设计能否保证货车顺利进入地下停车场？请说明理由 （参考数据：槡１０≈３．２） 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 ． 书 ＡＤ ＭＤ ＝ ２ ４＋ 槡２３ ＝ １ ２＋槡３ ＝２－槡３≈０．３． 附加题 　（１）证 明：取 ＡＣ的中点 Ｄ，连 接ＢＤ．在 Ｒｔ△ＡＢＣ中， 因为 ∠Ｃ＝９０°，ｔａｎＡ ＝ＢＣＡＣ＝ 槡３ ２，所以设ＢＣ ＝槡３ｘ，则 ＡＣ＝２ｘ．因 为点Ｄ是ＡＣ的中点，所 以ＣＤ＝ １２ＡＣ＝ｘ，所 以ＢＤ＝２ｘ，所以ＡＣ＝ ＢＤ，所以 △ＡＢＣ是“好 玩三角形”． （２）分两种情况讨 论： ①取ＤＥ的中点Ｇ， 连接 ＦＧ，则 ＦＧ＝ＤＥ． 因为ＤＦ＝ＥＦ，所以ＤＧ ＝ １２ＤＥ ＝ １ ２ＦＧ，ＦＧ ⊥ＤＥ．在 Ｒｔ△ＦＤＧ中， 由勾股定理，得 ＦＤ ＝ ＤＧ２＋ＦＧ槡 ２ ＝槡５ＤＧ， 所以 ＦＤ ＤＥ＝ 槡５ＤＧ ２ＤＧ ＝ 槡５ ２， 即腰和底边的比值是 槡５ ２． ②取ＥＦ的中点Ｍ， 连接ＤＭ，由题意知ＤＭ ＝ＥＦ＝ＤＦ．作ＤＨ垂直 ＥＦ于点 Ｈ，则 ＦＨ ＝ ＭＨ．设ＦＨ＝ＭＨ＝ｘ， 则ＭＦ＝ＭＥ＝２ｘ，ＤＦ ＝ ＥＦ ＝ ４ｘ． 在 Ｒｔ△ＤＦＨ中，由勾股定 理，得 ＤＨ＝ 槡１５ｘ，在 Ｒｔ△ＤＥＨ中，由勾股定 理，得ＤＥ＝ 槡２６ｘ，所以 ＤＦ ＤＥ＝ ４ｘ 槡２６ｘ ＝槡６３，即腰 和底边的比值是槡 ６ ３． 综上所述，腰和底 边的比值是槡 ５ ２或 槡６ ３． 上期４版 重点集训营 １．Ｄ；　２．Ｃ； ３．４５°； ４．等腰直角三角形． ５．过点 Ａ作 ＡＤ⊥ ＢＣ于点Ｄ，因为 ∠Ａ＝ １２０°，ＡＢ ＝ＡＣ，所以 ∠Ｂ＝∠Ｃ＝ １２（１８０° －∠Ａ） ＝３０°，ＢＣ ＝ ２ＢＤ，在 Ｒｔ△ＡＢＤ中， ∠ＡＤＢ ＝９０°，∠Ｂ ＝ ３０°，ＡＢ＝１，因为ｃｏｓＢ ＝ＢＤＡＢ，所以ＢＤ＝ＡＢ· ｃｏｓＢ＝１×ｃｏｓ３０°＝ 槡３ ２，所以ＢＣ＝２ＢＤ＝２ ×槡３２ ＝槡３，所以 ＢＣ的 长是槡３． !"#$ ! %& !" #$ %& '(")*+,- ./0123 # 45 $ !"#$%&'()*+ !"#$%#&'$&() !",-%&'()*+ *"#$+#&'$$&# ! ! !"#$ 6789:;<70= % 4 %&'( ! 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