第5章 几何证明初步 考前复习笔记-【教材解读】2023秋八年级上册初二数学（青岛版)

第５章　几何证明初步 ２４５　 0  0 考前复习笔记 请从右表中选择正确的关键词,将其对应选项代号填入左侧框图中相应的横线上． 答案 ①C　②B　③D　④E　⑤F　⑥A 专题一　命题 　　命题是对某件事情作出判断的句 子,要能正确地判断一个语句是否为命 题． 对于真命题,要学会用基本事实、定 理及其推论等进行证明;对于假命题,要 指出一个命题是假命题,只要能够举出 一个例子,使它具备命题的条件,而不符 合命题的结论就可以了,这种例子称为 反例． 【例１】已知命题:“如果两个三角形全 等,那么这两个三角形的面积相等”． 写出它的逆命题: 　． 该逆命题是　　　　命题(填“真”或 “假”)． 解析 原命题的条件和结论分别是它的逆 命题的结论和条件．因此,它的逆命题 的条件是:两个三角形的面积相等;结 论是:这两个三角形全等．因为当两个 三角形的面积相等时,这两个三角形 不一定全等,所以这个命题是假命题． 数学　八年级　上册 ２４６　 0  0 答案 如果两个三角形的面积相等,那么 这两个三角形全等　假 4 　　可以用举反例的方法来判定一个 命题是假命题． 专题二　平行线的判定与性质 　　平行线的判定与性质在解题中应用 广泛,主要分为两大类:一类是判定两个 角相等或互补及与之有关的一些角的运 算问题,其方法是“由线定角”;另一类是 根据某些角的相等或互补关系来判定两 直线平行,其方法是“由角定线”． 【例 ２】如 图 ５Ｇ１,∠BAP ＋ ∠APD ＝ １８０°,∠１＝∠２,求证:∠E＝∠F． A B F E C D 1 2 P 图５Ｇ１ 思路分析 根据已知可得出AB∥CD,进 而 由 ∠１＝ ∠２ 可 证 得 ∠FPA ＝ ∠EAP,故能得出 AE∥FP,即 能 推 出要证的结论成立． 证明 因为 ∠BAP＋ ∠APD ＝１８０°(已 知), 所以AB∥CD(同旁内角互补,两直线 平行), 所以∠BAP＝∠APC(两直线平行,内 错角相等)． 又因为∠１＝∠２(已知), 所以 ∠EAP ＝ ∠FPA (等 式 的 基 本 性质), 所以AE∥PF(内错角相等,两直线平 行), 所以∠E＝∠F(两直线平行,内错角 相等)．  　　本题主要考查了平行线的判定与 性质,正确识别“三线八角”中的同位 角、内 错 角、同 旁 内 角 是 正 确 答 题 的 关键． 专题三　三角形内角和定理及其推论 　　三角形是基本的几何图形,我们研 究的一些几何图形都是以三角形为基础 的,而三角形内角和定理是研究其他几 何图形的重要基础知识之一．三角形内角 和定理的推论常应用于角度的证明与 计算． 【例３】(１)如图 ５Ｇ２①,在 △ABC 中, ∠ABC,∠ACB 的平分线相交于点O． (a)若∠A＝６０°,则∠BOC＝ 　; (b)若∠A＝n°,则∠BOC＝　　　　; (c)若∠BOC＝３∠A,则∠A＝ 　． (２)如图５Ｇ２②,在△A′B′C′中,外角 ∠DB′C′与∠B′C′E 的平分线相交于 点O′,∠A′＝４０°,求∠B′O′C′的度数． (３)上面(１)(２)两题中的 ∠BOC 与 ∠B′O′C′有怎样的数量关系? A B C O 1 2 ① 　　D E A′ B′ C′ O′ 12 ② 图５Ｇ２ 思路分析 (１)(a)根据角平分线的定义可 得∠１＝ １ ２∠ABC ,∠２＝ １ ２∠ACB ,然 第５章　几何证明初步 ２４７　 0  0 后求出∠１＋∠２的值,再根据三角形 三个内角的和等于１８０°可得出结论; (b)同(a)的求解过程; (c)根据角平分线的定义用∠A 表示 出∠１＋∠２的值,再由∠BOC＝３∠A 得出结论． (２)先求出∠A′的外角的度数,由三角 形的外角和等于３６０°及角平分线的性 质得出∠１＋∠２的度数,再由三角形 内角和定理得出结论． (３)根据(１)(２)中∠BOC 与∠B′O′C′ 的关系可得出结论． 解 (１)(a)１２０° (b)９０°＋ １ ２n° (c)３６°　提示:因为∠ABC,∠ACB 的 平分线相交于点O,∠BOC＝３∠A, 所以∠１＝ １ ２∠ABC ,∠２＝ １ ２∠ACB , 所以∠１＋∠２＝ １ ２ (∠ABC＋∠ACB) ＝ １ ２ (１８０°－∠A)＝９０°－ １ ２∠A , 所以９０°－ １ ２∠A＋３∠A＝１８０° , 解得∠A＝３６°． 故答案为３６°． (２)因为∠A′＝４０°, 所以 ∠A′的 外 角 等 于 １８０°－４０°＝ １４０°． 因为△A′B′C′另外的两外角平分线相 交于点O′,三角形的外角和等于３６０°, 所以∠１＋∠２＝ １ ２× (３６０°－１４０°)＝ １１０°, 所以∠B′O′C′＝１８０°－１１０°＝７０°． (３)由(１),知∠BOC