5.6 几何证明举例-【教材解读】2023秋八年级上册初二数学（青岛版)

数学　八年级　上册 ２３２　 0  0 ５．６　几何证明举例M > M M  > M   > M (１)从 基 本 事 实 SAS,ASA,SSS以及定理 AAS出发可以判定两个 三角形全等,利用全等三 角形 对 应 边 和 对 应 角 的 定义,可以进一步推证两 个全 等 三 角 形 的 有 关 线 段或角的相等． (２)判 定 三 角 形 全 等,要有三组条件对应相 等,且其中至少要有一组 边 相 等．应 注 意,没 有 “SSA”和“AAA”的 判 定 方法． 知识点一　全等三角形的判定定理(AAS) 　　两角分别相等且其中一组等角的对边也相等的两 个三角形全等,简记为“AAS”． 【例１】已知:如图５．６Ｇ１,B,C,E 三点在同一条直线上, AC∥DE,AC＝CE,∠ACD＝∠B． A D B EC 图５．６Ｇ１ 求证:△ABC≌△CDE． 证明 因为AC∥DE(已知), 所以∠ACD＝∠D(两条平行直线被第三条直线所 截,内错角相等), ∠BCA＝∠E(两条平行直线被第三条直线所截,同 位角相等)． 又因为∠ACD＝∠B(已知), 所以∠B＝∠D(等量代换)． 又因为AC＝CE(已知), 所以△ABC≌△CDE(AAS)． 证明三角形全等的方法的选择 　　 证明两个三角形全等,常 用 的 方 法 是 SAS, ASA,SSS,AAS．但是选择哪一种方法判定三角形 全等,取决于题目中的已知条件．若已知两边分别 相等,则找它们的夹角或第三边相等;若已知两角 分别相等,则找它们的夹边或一组等角的对边相 等;若已知一边一角,则找另一组角或已知角的另 一组邻边相等． 第５章　几何证明初步 ２３３　 0  0 知识点二　等腰三角形的性质定理与判定定理 项目 性质定理１ 性质定理２ 判定定理 内容 等腰三角形 的两个底角 相等 等腰三角形底边上的 高、中线及顶角的平 分线重合 有两个角相等的 三角形是等腰三 角形 简称 等边对等角 三线合一 等角对等边 【例２】已知:如图５．６Ｇ２,在△ABC 中,D 是AB 上的一 点,DE⊥BC,交BC 于点E,ED 的延长线交CA 的 延长线于点F,且AD＝AF． 求证:AB＝AC． A D B E C F 图５．６Ｇ２ 证明 因为AD＝AF(已知), 所以∠ADF＝∠F(等腰三角形的两个底角相等)． 因为∠ADF＝∠BDE(对顶角相等), 所以∠F＝∠BDE(等量代换)． 因为DE⊥BC(已知), 所以△BDE 与△CEF 都是直角三角形(直角三角形 的定义)． 所以∠B＋∠BDE＝９０°,∠C＋∠F＝９０°(直角三角 形的两个锐角互余), 所以∠B＝∠C(等角的余角相等)． 所以AB＝AC(有两个角相等的三角形是等腰三角形)． 　　在证明两条线段相等时,如果这两条线段在同 一个三角形中,一般考虑证它们所对的角相等,利 用“等角对等边”证得这两条线段相等．   > M (１)“等边对等角”与“等 角对等边”互为逆定理． (２)等腰三角形的判定定 理和性质定理分别是证明三 角形两边相等和两角相等的 常用 方 法,而 等 腰 三 角 形 的 “三线合一”的性质又是证明 两直线互相垂直的常用方法． 在等腰三角形中,常把顶点与 底边中点之间的线段作为辅 助线． (３)遇 到 等 腰 三 角 形 时, 首先 考 虑 运 用 其 “等 边 对 等 角”的性质,其次可以考虑运 用其“三线合一”的性质． 数学　八年级　上册 ２３４　 0  0   > M 等边 三 角 形 是 特 殊 的等腰三角形,除具有等 腰三角形的一切性质外, 它还有特殊的性质:①它 有三条对称轴;②三边都 相等;③三个内角都等于 ６０°等． 知识点三　等边三角形的性质定理与判定定理 性质定理 判定定理 等边三角形的每个内角都 等于６０° (１)三个角都相等的三角形是等 边三角形; (２)有一个角是６０°的等腰三角形 是等边三角形 【例３】已知:如图５．６Ｇ３,△ABC 是等边三角形,D,E, F 分别是各边上的一点,且AD＝BE＝CF． 求证:△DEF 是等边三角形． A D E B F C 图５．６Ｇ３ 证明 因为△ABC 是等边三角形(已知), 所以AB＝AC＝BC(等边三角形的定义)． 因为AD＝BE＝CF(已知), 所以AE＝BF＝CD(等式的基本性质)． 又因为∠A＝∠B＝∠C＝６０°(等边三角形的性质), 所以△ADE≌△BEF≌△CFD(SAS)． 所以ED＝FE＝DF(全等三角形的对应边相等)． 所以△DEF 是等边三角形(等边三角形的定义)． 4 判定等边三角形的三种常用方法 (１)三边相等的三角形是等边三角形． (２)三个角都相等的三角形是等边三角形． (３)有 一 个 角 是 ６０°