5.5 三角形内角和定理-【教材解读】2023秋八年级上册初二数学（青岛版)

第５章　几何证明初步 ２２３　 0  0 ５．５　三角形内角和定理M > M M  > M (１)任意一个三角形的内 角和都等于１８０°,这是三角形 中角的关系的一个非常重要 的性质．当已知三角形的两个 内角时,可以很容易地求出第 三个角． 例如,在△ABC 中,如果 ∠A ＝３０°,∠B ＝９０°,那 么 ∠C＝１８０°－ ∠A － ∠B ＝ １８０°－３０°－９０°＝６０°． (２)三角形的三个内角中 至少有两个是锐角,三角形的 最大的内角不小于６０°． 辅助线常用的作法和技巧 题中有角平分线, 可向两边作垂线; 线段垂直平分线, 可向两端把线连; 三角形中有中线, 延长中线等中线; 角平分线加垂线, 三线合一试试看; 也可将图对折看, 对称以后关系现; 要证线段倍与半, 延长缩短可试验． 知识点一　三角形内角和定理 １．三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于１８０°． ２．证明思路 证明思路 图形 利用两直线平行,内 错角相等,将△ABC 的三个内角转化为一 个平角 B E A F C 1 2 利用两直线平行,内错 角和同位角都分别相 等,将△ABC 的三个 内角转化为一个平角 A D CB E 1 2 利用两直线平行,内 错角相等,将△ABC 的三个内角转化为一 组同旁内角 A B C 15 2 36 4 l1 l2 l3 D B A C 1 2 ３．辅助线 为了证明的需要,在原来图形上添加的线叫做辅助 线．辅助线通常画成虚线,其作用是把分散的条件集 中,把隐含条件显现出来,起牵线搭桥的作用． 【例１】如 图 ５．５Ｇ１ 所 示,∠１＋ ∠２＋ ∠３＋ ∠４＝ ． 1 2 4 3 图５．５Ｇ１ 　　　　 1 2 4 3 图５．５Ｇ２ 数学　八年级　上册 ２２４　 0  0 解析 如图５．５Ｇ２,添加辅助线,把原图分割成两个三 角形后易得∠１＋∠２＋∠３＋∠４＝３６０°． 答案３６０° 作辅助线构造规则图形 　　遇到不规则图形时,可通过添加辅助线,将不 规则图形转化为规则的图形．如本题通过添加辅助 线,将不规则图形分割成两个三角形,然后利用三 角形内角和定理求解． 知识点二　三角形内角和定理的推论 １．推论 由基本事实或定理直接推出的真命题叫做推论．推论 可以作为定理使用．注意由定理得出的推论不能反过 来证明定理． ２．三角形内角和定理的推论 推论１ 推论２ 三角形的一个外角等于与 它不相邻的两个内角的和 三角形的一个外角大于与它不 相邻的任意一个内角 【例２】如图５．５Ｇ３,CE 是△ABC 的外角∠ACD 的平分 线,CE 交BA 的延长线于点E．求证:∠BAC＞∠B． A E B C D 1 2 图５．５Ｇ３ 证明 因为CE 是△ABC的外角∠ACD 的平分线(已知), 所以∠１＝∠２(角平分线的定义)． 因为∠BAC 是△ACE 的外角, 所以∠BAC＞∠１(三角形的一个外角大于与它不相 邻的任意一个内角)． 所以∠BAC＞∠２(等量代换)． 同理,∠２＞∠B．所以∠BAC＞∠B． D36U FL># FU   > M (１)应用三角形内角 和定理的两个推论时,一 定要 注 意“不 相 邻”这 一 条件． (２)三角形内角和定 理的 推 论 可 以 用 来 证 明 角之 间 的 相 等 或 不 等 关 系,还可以用来计算角的 大小． 第５章　几何证明初步 ２２５　 0  0 (１)直角三角形的性质定 理实际上也是三角形内角和 定理的推论． (２)判定一个三角形是直 角 三 角 形 的 依 据:① 定 义; ②判定定理． 　　在直角三角形中,利用垂 直关系和直角三角形的两个 锐角互余可证明两个角相等． 常用的思路是由∠１＋∠２＝ ９０°,∠３＋ ∠２＝９０°,得∠１＝ ∠３． 比较角的大小的三种方法 (１)直接法:直接根据角度比较大小; (２)间接法:根据角的和差倍分关系间接比较 角的大小; (３)转化法:把一个角转化为三角形的外角,利 用三角形内角和定理的推论２比较角的大小． 知识点三　直角三角形的性质定理与判定定理 名称 文字语言 几何语言 性质定理 直角三角形的两 个锐角互余 在△ABC 中,如果∠C＝９０°, 那么∠A＋∠B＝９０° 判定定理 两个锐角互余的 三角形是直角三 角形 在△ABC 中,如果∠A＋∠B＝ ９０°,那么∠C＝９０°,即△ABC 是直角三角形 【例３】已知:如图５．５Ｇ４,在△ABC 中,AD⊥BC,∠１＝ ∠B．求证:△ABC 是直角三角形． A B D C 1 图５．５Ｇ４ 证明 因为AD⊥BC(已知), 所以∠ADC＝９０°(垂直的定义)． 所以△ACD 是直角三角形(直角三角形的定义)． 所以∠１＋∠C＝９０°(直角三角形的两个锐角互余)． 因为∠１