5.4 平行线的性质定理和判定定理-【教材解读】2023秋八年级上册初二数学（青岛版)

第５章　几何证明初步 ２１７　 0  0 ５．４　平行线的性质定理和判定定理 M > M 知识点一　平行线的性质和判定   > M １．性质 (１)两条平行直线被第三条直线所截,同 位角相等; (２)两条平行直线被第三条直线所截,内错角相等; (３)两条平行直线被第三条直线所截,同旁内角互补． ２．判定 (１)两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那 么两直线平行; (２)两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那 么两直线平行; (３)两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补, 那么两直线平行． 【例１】将下面的解答过程补充完整,并在括号内填写推 理依据． 已知:如图５．４Ｇ１,直线BC 与AF 相交于点E,AB∥ CD,∠１＝∠２,∠３＝∠４,AD 与BE 平行吗? 为什么? DA B C E F 1 2 3 4 图５．４Ｇ１ 解:AD∥BE．理由如下: 因为AB∥CD(已知),所以∠４＝　　　　(　　　 　　　　　)． 因为∠３＝∠４(已知),所以∠３＝　　　　(　　　　)． 因为∠１＝∠２(已知), 所以∠１＋∠CAF＝∠２＋∠CAF(　　　　　　), (１)三 个 性 质、三 个 判定 中,只 有 “同 位 角 相 等,两 直 线 平 行”是 基 本 事实,其他五个是定理． (２)平行线的性质是 由直 线 平 行 推 得 角 的 关 系,平行线的判定是由角 的关系推得直线平行． 数学　八年级　上册 ２１８　 0  0 (１)互逆命题的真假没有 必然的联系,它们的真假都必 须经过说明论证或举反例验 证(假命题)．原命题为真,逆 命题 不 一 定 为 真;原 命 题 为 假,逆命题不一定为假． (２)任何一个命题都有逆 命题．因 此,任 何 一 个 定 理 都 有逆命题,但是逆命题不一定 正确,所以并不是每一个定理 都有逆定理． 即　　　　＝　　　　, 所以∠３＝　　　　(　　　　　　), 所以AD∥BE(　　　　　　　　)． 答案 ∠BAE　两条平行直线被第三条直线所截,同 位角相等　∠BAE　等量代换　等式的基本性质　 ∠BAE　∠DAC　∠DAC　等量代换　两条直线 被第三条直线所截,如果内错角相等,那么两直线 平行 知识点二　逆命题与逆定理 １．逆命题:在两个命题中,如果第一个命题的条件是第 二个命题的结论,而第一个命题的结论是第二个命题 的条件,那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中 一个命题叫做原命题,那么另一命题叫做它的逆命 题． ２．逆定理:如果一个定理的逆命题也是真命题,那么这 个逆命题就是原定理的逆定理． 【例２】下列定理中,逆定理不存在的是 (　　) A．角平分线上的点到这个角两边的距离相等 B．内错角相等,两直线平行 C．同位角相等,两直线平行 D．全等三角形的周长相等 解析 A选项中,逆命题:到一个角两边距离相等的点 在这个角的平分线上,正确;B选项中,逆命题:两直 线平行,内错角相等,正确;C选项中,逆命题:两直线 平行,同位角相等,正确;D选项中,逆命题:周长相等 的三角形全等,不正确,也就是逆定理不存在．故选 D． 答案 D 判断逆定理存在的方法 　　先把一个定理的条件和结论互换得到它的逆 命题,再分析逆命题是否为真命题,若为真命题,则 原定理存在逆定理,否则逆定理不存在． 第５章　几何证明初步 ２１９　 0  0 常考题型解读 题型一　平行线的判定定理的应用 【例１】已知:如图５．４Ｇ２所示,∠１＝∠A,∠２＝∠B．求 证:MN∥EF． 1 2 M C N E F A B 图５．４Ｇ２ 思路分析 利用平行线的判定定理和平行的传递性来证明． 证明 因为∠１＝∠A(已知), 所以MN∥AB(两条直线被第三条直线所截,如果内 错角相等,那么两直线平行)． 又因为∠２＝∠B(已知), 所以EF∥AB(两条直线被第三条直线所截,如果同 位角相等,那么两直线平行)． 所以 MN∥EF(如果两条直线都与第三条直线平行, 那么这两条直线也互相平行)． "> 判定两条直线平行的常用方法 (１)平行线的定义:在同一平面内,不相交的两 条直线叫做平行线; (２)同位角相等,两直线平行; (３)内错角相等,两直线平行; (４)同旁内角互补,两直线平行; (５)平行于同一条直线的两条直线平行(平行 线的传递性); (６)在同一平面内,垂直于同一条直线的两条 直线平行． １．如图５．４Ｇ３,在下列条件中, 不能判定直线a 与b 平行 的是 (　　) a b c 1 2 3 4 5 图５．４Ｇ３ A．∠１＝∠２ B．∠２＝∠３ C．∠３＝∠５ D．∠３＋∠４＝１８０° ２．如图５．４Ｇ４,AE⊥BC,FG⊥ BC,∠１＝∠２,求证:AB∥ CD． DFEC A G B 2 1 图５．４Ｇ４