5.3 什么是几何证明-【教材解读】2023秋八年级上册初二数学（青岛版)

第５章　几何证明初步 ２１１　 0  0 ５．３　什么是几何证明M > M 知识点一　基本事实与定理 １．基本事实 从已经了解的数学命题中,挑选出一部分人们通过长 期实践总结出来,被大家所公认的命题作为基本事 实,用基本事实作为证实所有其他几何命题的起始依 据． ２．常用的基本事实 (１)两点确定一条直线; (２)两点之间,线段最短; (３)过一点有且只有一条直线与这条直线垂直; (４)两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那 么两直线平行; (５)过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行; (６)两边及其夹角分别相等的两个三角形全等; (７)两角及其夹边分别相等的两个三角形全等; (８)三边分别相等的两个三角形全等． (９)等式的基本性质以及不等式的基本性质(以后学习)． (１０)等量代换:如果a＝b,b＝c,那么a＝c;如果a＞ b,b＝c,那么a＞c． ３．定理 经过推理得到证实的真命题叫做定理,定理与定义和 基本事实一样,具有普遍的意义． 【例１】下列命题中,不是基本事实的是 (　　) A．如果a＝b,b＝c,那么a＝c B．等量加等量,和相等 C．等量减等量,差相等 D．对顶角相等 解析 A,B,C是人们在长期实践的检验中确认的,不 需要加以证实,所以它们是基本事实,而 D 中“对顶 角相等”需要由基本事实、定义通过逻辑推理的方法 (１)基本事实也称为“公 理”,可直接作为说明其他命 题是真命题的依据,其本身的 真实性不需要证明． (２)定 理 一 定 是 真 命 题, 但是真命题不一定是定理．不 是所有的真命题都可以作为 定理,只有教材中规定的真命 题才可以作为定理(一般用黑 体字标出),否则其真实性在 证明的过程中需要证出才能 使用． (３)定理可以作为今后证 明其他命题的依据． >-, MUE>ED +@ =U  * 数学　八年级　上册 ２１２　 0  0   > M (１)“证明”是由条件(已 知)出发,经过一步步的推理, 最后证实结论(求证)正确的 全部过程． (２)证明过程应按照“前 因后果”的次序书写,其中的 每一步推理都要有依据．推理 的依据只能是命题给出的已 知条件、已经学过的定义、基 本事实和已经证明过的定理． 不能凭“想当然”,把未被证实 的命题作为推理的依据． 符 号 “∵”读 作 “因 为”,“∴”读作“所以”．证 明过 程 中 每 一 步 的 后 面 都用 括 号 注 明 推 理 的 依 据,熟 悉 了 证 明 的 格 式 后,可以省略括号及括号 中填注的依据． 加以证实,所以它不是基本事实． 答案 D 知识点二　证明 １．证明的定义 命题需要由基本事实、定义、已证实的结论及已知条 件出发,通过逻辑推理的方法加以证实．推理的过程 叫做证明． ２．几何证明过程的一般步骤 第１步:根据题意,画出图形． 第２步:结合图形,根据条件、结论,写出已知、求证．其 中,“已知”是命题的条件,“求证”是命题的结论．书写 时,应把图形所表达的数学含义(即图形语言)根据命 题中的文字语言转化为符号语言． 第３步:找出由已知推出求证的途径,写出“证明”． 【例２】在括号内填写下列证明过程中的推理依据． 已知:如图 ５．３Ｇ１,AC,BD 相交于点O,DF 平分 ∠CDO 交AC 于点F,BE 平分∠ABO 交AC 于点 D C F O E A B 1 2 图５．３Ｇ１ E,∠A＝∠C． 求证:∠１＝∠２． 证明:∵∠A＝∠C(已知), ∴AB∥CD(　　　　　　　), ∴∠ABO＝∠CDO(　　　　　　　)． ∵∠１＝ １ ２∠CDO ,∠２＝ １ ２∠ABO (　　　　　　), ∴∠１＝∠２(等量代换)． 答案 内错角相等,两直线平行　两直线平行,内错角 相等　角平分线的定义 “因为”“所以”结伴行,“证明”齐心来完成 (１)证明过程中有因必有果,有果必有因． (２)“因为”必须是已知事实或已证事实,“所 以”必须是由前面已知事实推出的事实． 第５章　几何证明初步 ２１３　 0  0 常考题型解读 题型一　已知条件、结论的证明 【例１】如图５．３Ｇ２,已知AB∥CD,∠１＝∠２． 求证:∠E＝∠F． A B E F C D 1 2 图５．３Ｇ２ 思路分析 思 路 １:连 接 BC,由 AB∥CD,∠１＝∠２, 得∠EBC＝∠FCB,从而可得 EB∥CF,最终得出 ∠E＝∠F． 思路２:延长 BE 交DC 的延长线于点G,由 AB∥ CD,∠１＝∠２,得∠G＝∠２,从而可得BG∥CF,最 终得出∠BEF＝∠F． 证明 方法１:如图５．３Ｇ３,连接BC． 因为AB∥CD(已知), 所以∠ABC＝∠BCD(两直线平行,内错角相等), 即∠１＋∠EBC＝∠２＋∠FCB． 又