5.2 为什么要证明-【教材解读】2023秋八年级上册初二数学（青岛版)

数学　八年级　上册 ２０６　 0  0 ５．２　为什么要证明M > M   > M 对于一个结论,要肯 定其是正确的,必须通过 一步一步推理、证明才能 下结论． @?U !D U 推理证明的必要性 　　归纳是学习数学、研究数 学最基本的而又行之有效的 方法之一,它能使复杂的问题 简单化,可以从特殊问题中总 结出一般问题的规律,为解决 问题提供方向． 知识点　推理证明的必要性 　　观察、实验、归纳和类比都是我们发现规律、获取一 般结论的重要方法,但由观察、实验、归纳和类比得到 的命题都仅仅是一种猜想,不能保证它是真命题．要确 定命题的正确性,还需要进一步有根据地说明理由,经 过严密的逻辑推理加以证实,才能承认它是真命题． 【例】当n＝０,１,２,３,４,５时,代数式n２－n＋１１的值是 质数吗? 你能否得到结论:对于所有的自然数n, n２－n＋１１的值都是质数? 解 当n＝０时,n２－n＋１１＝１１,１１是质数; 当n＝１时,n２－n＋１１＝１１,１１是质数; 当n＝２时,n２－n＋１１＝１３,１３是质数; 当n＝３时,n２－n＋１１＝１７,１７是质数; 当n＝４时,n２－n＋１１＝２３,２３是质数; 当n＝５时,n２－n＋１１＝３１,３１是质数． 所以当n＝０,１,２,３,４,５时,代数式n２－n＋１１的值 都是质数． 当n＝６时,n２－n＋１１＝４１,４１是质数; 当n＝７时,n２－n＋１１＝５３,５３是质数; 当n＝８时,n２－n＋１１＝６７,６７是质数; 当n＝９时,n２－n＋１１＝８３,８３是质数; 当n＝１０时,n２－n＋１１＝１０１,１０１是质数; 当n＝１１时,n２－n＋１１＝１２１,１２１＝１１２ 不是质数． 所以当n＝０,１,２,３,４,５,６,７,８,９,１０时,n２－n＋１１ 的值全是质数,而当n＝１１时,n２－n＋１１＝１２１,１２１ 不是质数, 所以对于所有的自然数n,n２－n＋１１的值不全是质 数,即不能得出对于所有的自然数n,n２－n＋１１的 值都是质数的结论． 第５章　几何证明初步 ２０７　 0  0 　　由部分的情况来推导全体的情况是有很大局 限性的,本题虽然n 的值从０到１０都能证实n２－ n＋１１的值是质数,但也只是对部分对象进行归 纳,不是数学推理,所以不能由此随意下结论． 常考题型解读 题型一　用验证法说明某些结论 【例１】观察图５．２Ｇ１中各几何图形,回答: (１)图５．２Ｇ１①中线段a 长还是线段b长? (２)图５．２Ｇ１②中圆弧a 长还是圆弧b长? a b a b ①　　　　　　② 图５．２Ｇ１ 解 (１)用直尺测量图５．２Ｇ１①中两条线段,知线段a,b 一样长． (２)对于图５．２Ｇ１②,可找出圆心,测量半径及所对圆 心角,便可得两者相等,故圆弧a,b一样长． 4 　　本题说明仅凭观察不能对事情作出准确的判 断,还需进一步有根据地进行推理． 题型二　运用观察、归纳和猜想获得结论 【例２】如图５．２Ｇ４,观察下列一组图形中点的个数,其中 第１个图中共有４个点,第２个图中共有１０个点,第 ３个图中共有１９个点,􀆺􀆺按此规律可得出第５个 图中共有点的个数是 (　　) １．先观察,再验证: (１)图５．２Ｇ２中的两条线段 a与b,哪条更长? a b 图５．２Ｇ２ (２)图５．２Ｇ３中的直线 AB 与直线CD 平行吗? A C B D 图５．２Ｇ３ 数学　八年级　上册 ２０８　 0  0 ２．字母a,b,c,d 各代表正方 形、线段、等边三角形、圆四 个图形中的一种,将它们两 两组 合,并 用 字 母 连 接 表 示,下表是三种组合与连接 的对应表,由此可推断图形 的连接方式为　　　　． 组合 连接 a􀱇b b􀱇d d􀱇c ３．观察下列各式: ３２－１２＝４×２, ４２－２２＝４×３, ５２－３２＝４×４, 􀆺􀆺 (１)猜想(n＋２)２－n２ 的结 果; (２)请用因式分解的方法验 证(１)中的猜想． ll 第１个图　 第２个图　第３个图　 图５．２Ｇ４ A．３１　　　　B．４６　　　　C．５１　　　　D．６６ 思路分析 通过观察图形的变化规律,找出数字变化规 律,利用规律解决问题． 解析 由题图可知,第１个图中共有１＋１×３＝４(个)点, 第２个图中共有１＋１×３＋２×３＝１０(个)点, 第３个图中共有１＋１×３＋２×３＋３×３＝１９(个)点, 􀆺􀆺 由此规律得出第n 个图中共有(１＋１×３＋２×３＋３× ３＋􀆺＋３n)个点． 所以第５个图中共有点的个数是１＋１×３＋２×３＋ ３×３＋４×３＋５×３＝４６． 答案 B "> 归纳、猜想来解题 先根据几个特殊的图形得到一个规律,再验证 此规律的正确性,这就是从特殊到一般的思想