3.2 分式的约分-【教材解读】2023秋八年级上册初二数学（青岛版)

第３章　分　式 １０５　 0  0 ３．２　分式的约分 M > M 知识点一　分式的约分 １．概念 利用分式的基本性质,把一个分式的分子和分母中１ 以外的公因式约去,叫做分式的约分． ２．确定公因式的方法 (１)当分子、分母都是单项式时,分子、分母的公因式 是分子、分母系数的最大公因数和相同字母的最低次 幂的积; (２)当分子、分母中有多项式时,应先将多项式因式分 解,再确定分子、分母的公因式． ３．约分时的注意事项 (１)约分时,一般要约去分子和分母中１以外的所有 公因式． (２)如果分式的分子或分母带有负号,应先将负号化去． 【例１】约分: (１) ５xy ２０y２ ; 　 (２) x－y (x－y)３ ;　(３) a２－５a ２５－a２ ; (４) ９－x２ x２－６x＋９． 解 (１) ５xy ２０y２ ＝ ５y􀅰x ５y􀅰４y ＝ x ４y ． (２) x－y (x－y)３ ＝ (x－y)􀅰１ (x－y)(x－y)２ ＝ １ (x－y)２ ． (３) a２－５a ２５－a２＝ a(a－５) (５＋a)(５－a)＝ a(a－５) －(５＋a)(a－５)＝－ a ５＋a． (４)方 法 １: ９－x２ x２－６x＋９ ＝ (３＋x)(３－x) (x－３)２ ＝ (３＋x)(３－x) (３－x)２ ＝ ３＋x ３－x． (１)约分的依据是分式的 基本性质．约分的关键是找到 分子、分母的公因式． (２)当分式的分子、分母 都是 乘 积 形 式 时,才 能 进 行 约分． (３)当分式的分子或分母 是多项式时,要用分子、分母 的公因式去除整个多项式,不 能只除某一项,更不能减去某 一项,例如,６m＋４ ２n＋８＝ ３m＋４ n＋８ , ２a＋x ３b＋x＝ ２a ３b 都是错误的． U 3  ?   　　对分式进行约分时,一般 先对分子、分母进行因式分解． 数学　八年级　上册 １０６　 0  0 最简 分 式 是 对 一 个 独立的分式而言的,形如 ２＋ ３ x , ３＋ ２a ３ x＋y 的分式都不 是最简分式． 判断一个分式是 不 是 最 简分式,要严格按照定义来判 断,就是看分子、分母有没有 除１以外的公因式．因为约分 中的公因式是针对分式的分 子与分母,因式分解中的公因 式是针对多项式的各项,所以 若分子或分母都是单项式,先 找出分子和分母的公因式,直 接把公因式约去;若分子、分 母中含有多项式,先把多项式 因式分解,然后找出公因式再 约去． 方法２: ９－x２ x２－６x＋９＝ (３＋x)(３－x) (x－３)２ ＝－ (x＋３)(x－３) (x－３)２ ＝－ x＋３ x－３． 分式约分的步骤 　　第１步:确定公因式． 　　第２步:分子、分母转换形式． 　　第３步:约去公因式． 知识点二　最简分式 １．概念 当一个分式的分子与分母,除去１以外没有其他的公 因式时,这样的分式叫做最简分式． ２．判断方法 判断一个分式是否为最简分式,关键是确定其分子与 分母是否有公因式(公因式１除外)． ３．分式约分的结果应当是最简分式或整式． 【例２】下列各式中是最简分式的是 (　　) A． x２－y２ (x＋y)２ 　　　　　　　B． x＋２ x－２ C．－ ab a２ D． a＋b a２＋ab 解析 判断一个分式是否为最简分式,关键是看它的 分子与分母之间是否存在除１以外的公因式． 选项 解析 结果 A 分子x２－y２＝(x＋y)(x－y)与分母(x＋ y)２ 有公因式x＋y 不是 B 分子x＋２与分母x－２没有除１以外的公 因式 是 C 分子ab与分母a２ 有公因式a 不是 D 分母a２＋ab＝a(a＋b)与分子a＋b 有公因 式a＋b 不是 答案 B 第３章　分　式 １０７　 0  0 常考题型解读 题型一　分式的化简求值 利用约分化简求值 【例１】化简求值: －４x２＋２xy ４x２－４xy＋y２ ,其中x＝ １ ２ ,y＝－ ２ ３． 思路分析 找公因式→约分→代入求值． 解 －４x２＋２xy ４x２－４xy＋y２ ＝ －２x(２x－y) (２x－y)２ ＝－ ２x ２x－y ． 当x＝ １ ２ ,y＝－ ２ ３ 时, 原式＝－ ２× １ ２ ２× １ ２－ ( － ２ ３) ＝－ 　１　 ５ ３ ＝－ ３ ５． "> 分式求值,一化二代三求值 　　化简求值题的关键是准确地确定分子、分母中 的公因式,再利用约分把分式化为最简分式或整 式,最后代入求值． 与约分有关的开放题 【例２】请从下列三个代数式中任选两个构造一个分式, 并化简该分式． a２－１,ab－b,b＋ab． 思路分析 将构成的分式的分子和分母分别进行因式分 解,再进行约分、化简就能得出所求的结果． 解 本题共有六种答案