第27章 圆 章末整合提升-【教材解读】2023秋九年级下册初三数学（华东师大版)

章末整合提升 请从右表中选择正确的关键词,将其对应选项代号填入左侧框图中相应的横线上． 答案:①E　②C　③E　④A　⑤B　⑥E　⑦G　⑧H　⑨I　⑩I　􀃊􀁉􀁓G　􀃊􀁉􀁔H　􀃊􀁉􀁕F 　􀃊􀁉􀁖D ０７１ 专题一　垂径定理及其推论 垂径定理的基础是圆的对称性,它 是计算线段长度、证明线段相等的重要 依据,同时也能得出弧的相等．在应用垂 径定理时,常利用半径、弦的一半、圆心 到弦的垂线段构造直角三角形,结合勾 股定理进行有关的证明或计算． 例１一条排水管的截面如图２７Ｇ１所示, 已知排水管的半径OA 为１m,水面宽 AB 为１．２m,某天下雨后,水管水面上 升了０．２m,则此时排水管水面宽CD 等于　　　　m． 图２７Ｇ１ 解析:如图２７Ｇ２,连结OD,OB,作OE⊥ AB,垂足为E,与CD 交于点F． 图２７Ｇ２ 由题 意,知 OB＝１ m,EB＝０．６ m, 根据勾 股 定 理,得 OE ＝０．８m．因 为 EF ＝０．２ m,所 以 OF ＝０．６m．在 Rt△ODF中,OF＝０．６m,OD＝１m, 所以FD＝ OD２－OF２ ＝ １２－０．６２ ＝ ０．８(m),所以CD＝１．６m． 答案:１．６ 4 垂径定理及其推论的四个应用 (１)计算线段的长度:常构造直角三角 形,结合勾股定理进行计算; (２)证明线段相等:根据垂径定理平分 线段推导线段相等; (３)证明等弧; (４)证明垂直:根据垂径定理的推论证 明线段互相垂直． 专题二　与圆心角、圆周角有关的计算 圆周角定理及其推论系统说明了圆 中的角的关系:(１)同弧或等弧所对的圆 周角相等;(２)圆周角是它所对弧上的圆 心角的一半;(３)９０°的圆周角所对的弦是 直径;(４)圆内接四边形对角互补．这些关 系是在圆中求角的基础． 例２(吉林长春中考)如图２７Ｇ３,点 A、 B、C 在☉O 上,∠ABC＝２９°,过点C 作☉O 的切线交OA 的延长线于点D, 则∠D 的大小为 (　　) 图２７Ｇ３ 　　 　　　　 　　　　 　　A．２９° B．３２° C．４２° D．５８° 解析:如图２７Ｇ４,作直径B′C,交☉O 于 点B′,连结AB′,则∠AB′C＝∠ABC＝ ２９°, １７１ 图２７Ｇ４ 所以∠DOC＝２∠AB′C＝５８°． 因为CD 是☉的切线, 所以∠OCD＝９０°． 所以∠D＝９０°－５８°＝３２°． 故选B． 答案:B 例３ 如图２７Ｇ５,圆内接四边形 ABCD 两组对边的延长线分别相交于点E、 F,且∠A＝５５°,∠E＝３０°,则∠F＝ 　　　　． 图２７Ｇ５ 解析:因 为 四 边 形 ABCD 是 圆 内 接 四 边形, 所以∠ECD＝∠A＝５５°． 因为∠E＝３０°, 所以∠EDC＝１８０°－∠E－∠ECD＝ ９５°, 所以∠CBA＝∠EDC＝９５°． 又因为∠BCF＝∠ECD＝５５°(对顶角 相等), 所以∠F＝∠CBA－∠BCF＝４０°． 答案:４０° 4 利用圆周角定理及其推 论证明时常用的思路 (１)在同圆或等圆中,要证明弧相等, 考虑证明这两条弧所对的圆周角相等． (２)在同圆或等圆中,要证明圆周角相 等,考虑证明这两个圆周角所对的弧 相等． (３)当有直径时,常利用直径所对的圆 周角为直角解决问题． 专题三　切线的判定与性质 　　运用切线的性质时,常常“作过切点 的半径”,构造直角三角形,利用勾股定 理解决相关问题． 　　判定一条直线是圆的切线时,若已 知点在圆上,则“连半径,证垂直”;否则 “作垂直,证半径”． 例４(甘 肃 白 银 中 考)如 图 ２７Ｇ６,在 △ABC 中,AB＝AC,点D 在BC 上, BD＝DC,过点D 作DE⊥AC,垂足为 E,☉O 经过A、B、D 三点． (１)求证:AB 是☉O 的直径; (２)判断DE 与☉O 的位置关系,并加 以证明; (３)若☉O 的半径为３,∠BAC＝６０°, 求DE 的长． 图２７Ｇ６ 　　　 图２７Ｇ７ (１)证明:如图２７Ｇ７,连结AD． 因为在△ABC 中,AB＝AC,BD＝DC, ２７１ 所以AD⊥BC, 所以∠ADB＝９０°, 所以AB 是☉O 的直径． (２)解:DE 与☉O 相切． 证明:如图２７Ｇ８,连结OD, 图２７Ｇ８ 因为AO＝BO,BD＝DC, 所以OD 是△BAC 的中位线, 所以OD∥AC． 又因为DE⊥AC, 所以DE⊥OD, 所以DE 为☉O 的切线． (３)解:设AC 交☉O 于点G,连结BG, 如图２７Ｇ９． 因为AB 是直径, 所以∠AGB＝９０°,即BG⊥AC． 因为DE⊥AC,所以DE∥BG, 所以△CDE∽△CBG, 所以CD CB＝ DE BG＝ １ ２． 在 Rt△ABG 中,AB ＝６,∠BAC ＝ ６０°,