第23章 图形的相似 章末整合提升-【教材解读】2023秋九年级上册初三数学（华东师大版)

章末整合提升 专题一　相似三角形的性质和判定 　　相似三角形的性质和判定是本章的 重点内容，掌握三角形相似的条件，并 会用相似三角形的性质进行有关的计算 和推理是本章的重点也是难点．两个三角 形相似的判定：①两角分别相等的两个 三角形相似；②两边成比例且夹角相等 的两个三角形相似；③三边成比例的两 个三角形相似． 　　相似三角形的性质：①对应角相 等；②对应边成比例；③对应角的平分 线的比，对应边上高的比、中线的比都 等于相似比，周长的比等于相似比，面 积的比等于相似比的平方． 例１ (四川泸州中考)如图 ２３Ｇ１,矩形 ABCD 的边AD＝３,AB＝２,E 为AB 的中点,F 在边BC 上,且BF＝２FC, AF 分别与DE、DB 相交于点M、N, 则 MN 的长为 (　　) 图２３Ｇ１ A． ２２ ５ B． ９２ ２０ C． ３２ ４ D． ４２ ５ 解析:过点F 作FH ⊥AD 于点 H,FH 交ED 于 点 O,如 图２３Ｇ２,则 FH ＝ AB＝２． ７３１ 图２３Ｇ２ 因为BF＝２FC,BC＝AD＝３, 所以BF＝AH＝２,FC＝HD＝１, 所以AF＝ FH２＋AH２ ＝ ２２＋２２ ＝ ２２． 因为OH∥AE, 所以 HO AE ＝ DH AD ＝ １ ３ , 所以OH＝ １ ３AE＝ １ ３ , 所以OF＝FH－OH＝２－ １ ３＝ ５ ３． 因为AE∥FO, 所以△AME∽△FMO, 所以 AM FM ＝ AE FO＝ １ ５ ３ ＝ ３ ５ , 所以AM＝ ３ ８AF＝ ３２ ４ ． 因为AD∥BF, 所以△AND∽△FNB, 所以 AN FN ＝ AD BF＝ ３ ２ , 所以AN＝ ３ ５AF＝ ６２ ５ , 所以 MN＝AN－AM＝ ６２ ５ － ３２ ４ ＝ ９２ ２０ ． 答案:B 　　本题考查了相似三角形的判定与 性质、矩形的性质、勾股定理、比例的 性质等,准确作出辅助线,求出AN 与 AM 的长是解题的关键． 专题二　相似三角形的实际应用 　　现实生活中有很多通过构建相似三 角形来解决的问题，相似三角形也是刻 画现实问题的有效数学模型．相似三角形 的应用主要是测量高度、宽度等距离， 其解答步骤为：认真审题、准确画图， 先构建相似三角形，再依据相似三角形 的对应线段成比例求解． 例２某一天,小明和小亮来到一河边,想 用遮阳帽和皮尺测量这条河的大致宽 度,两人在确保无安全隐患的情况下, 先在河岸边选择了一点B(点B 与河 对岸岸边上的一棵树的底部点D 所确 定的直线垂直于河岸)． ①小明在点B 面向树的方向站好,调 整帽檐,使视线通过帽檐正好落在树 的底部点D 处,如图２３Ｇ３(示意图)所 示,这时小亮测得小明眼睛距地面的 距离AB＝１．７米;②小明站在原地转 动１８０°后蹲下,并保持原来的观察姿 态(除身体重心下移外,其他姿态均不 变),这时视线通过帽檐落在了DB 延 长线上的点E 处,此时小亮测得BE＝ ９．６ 米,小 明 的 眼 睛 距 地 面 的 距 离 CB＝１．２米． 根据以上测量过程及测量数据,请你 求出河宽BD 是多少米． ８３１ 图２３Ｇ３ 分析:根据题意可知,∠BAD＝∠BCE, 先根据两组角对应相等,两三角形相 似,得出△BAD 和△BCE 相似,再根 据相似三角形对应边成比例,列出方 程求解． 解:由题意,知∠BAD＝∠BCE． 因为∠ABD＝∠ABE＝９０°, 所以△BAD∽△BCE． 所以 BD BE ＝ AB CB． 所以 BD ９．６＝ １．７ １．２． 所以BD＝１３．６米． 所以河宽BD 是１３．６米． 　　本题考查了相似三角形在测量中 的应用．解此类题的方法是“问题落图 中,图中找相似,相似得比例,比例来 列式,列式来计算”,即根据题意建立 适当的数学模型．解题的关键是读懂 题目信息,将实际问题转化为数学问 题来解决． 专题三　三角形的中位线 　　三角形的中位线平行于第三边，并 且等于第三边的一半，这一性质可以利 用三角形的相似来证明．在解题时，中位 线与第三边的位置关系和数量关系往往 是已知条件和未知结论的桥梁，恰当合 理地利用中位线的性质可以变难为易、 变繁为简，从而快速准确地解决问题． 例３如图２３Ｇ４,在△ABC 中,AD、BE 是 两条中线,则S△EDC∶S△ABC＝ (　　) 图２３Ｇ４ A．１∶２　　　　　　　B．２∶３ C．１∶３ D．１∶４ 解析:因为AD、BE 是两条中线, 所以ED 为△ACB 的中位线, 所以ED∥AB,且ED＝ １ ２AB , 故△CED∽△CAB, 所以S△EDC∶S△ABC＝ ( ED AB ) ２ ＝ １ ４． 故选 D． 答案:D @. 　　相似三角形面积的比等于相似比 的平方．此类问题容易把“相似三角形 面