第22章 一元二次方程 章末整合提升-【教材解读】2023秋九年级上册初三数学（华东师大版)

章末整合提升 专题一　一元二次方程的概念及根 　　一元二次方程的一般形式ax２＋ bx＋c＝０(a≠０)中的a≠０是方程为一 元二次方程的必备条件．只有满足a≠０， ax２＋bx＋c＝０才是一元二次方程． 　　判断某些值是否为一元二次方程的 解，只需将它代入方程中，看方程左右 两边的值是否相等．若左右两边的值相 等，则这个值是一元二次方程的解；若 不相等,则这个值不是一元二次方程 的解． 例１(四川攀枝花中考)若x＝－２是关于 x 的一元二次方程x２＋ ３ ２ax－a ２＝０ 的一个根,则a的值为 (　　) A．－１或４ B．－１或－４ C．１或－４ D．１或４ 解析:根 据 题 意,将 x＝ －２ 代 入 方 程 x２＋ ３ ２ax－a ２＝０,得４－３a－a２＝０, 即a２＋３a－４＝０．将左边因式分解,得 (a－１)(a＋４)＝０,所以a－１＝０或 ６６ a＋４＝０,解得a＝１或a＝－４． 答案:C 　　已知含参数的方程的根,则可根 据方程根的定义直接代入方程,得到 一个关于参数的新方程,从而确定参 数值,但要注意问题中的隐含条件,如 一元二次方程的二次项系数不能为０． 专题二　一元二次方程的解法 　　解一元二次方程是本章的基础，它 的解法共有四种，即直接开平方法、因 式分解法、配方法、公式法．这四种解法 各有所长，解题时要根据题目的特点， 选择适当的解法求解． 　　（１）若方程符合 （ax＋b）２ ＝ c（c≥０）的形式，用直接开平方法解方 程比较简单．对于一元二次方程的一般形 式ax２＋bx＋c＝０(a≠０)而言，当b＝０ 时，用直接开平方法较好；当c＝０时， 用因式分解法比较简单． 　　（２）关于x 的一元二次方程ax２＋ bx＋c＝０(a≠０)，a、b、c 不缺项且不 易分解因式时一般采用公式法． 　　（３）配方法也是解方程的一种重要 方法，但解题步骤较为烦琐，所以题目 只要没有明确指出必须使用配方法解 题，一般就不采用此法． 　　总之，一元二次方程的四种解法 中，选取的优先顺序为：直接开平方 法→因式分解法→公式法→配方法． 例２解方程:x２＋２x－３＝０． 分析:观察方程,根据方程特点,选择最 简单的解法． 解:方法１(公式法):因为a＝１,b＝２, c＝－３, b２－４ac＝２２－４×１×(－３)＝１６, 所以x＝ －２± １６ ２×１ ＝－１±２ , 解得x１＝１,x２＝－３． 方法２(配方法):移项,配方得x２＋ ２x＋１２＝３＋１２, 即(x＋１)２＝４． 开平方,得x＋１＝±２, 即x＋１＝２或x＋１＝－２． 解得x１＝１,x２＝－３． 方法３(因式分解法): 因式分解,得(x＋３)(x－１)＝０． 所以x＋３＝０或x－１＝０． 解得x１＝１,x２＝－３． " 　　解一元二次方程共有四种方法, 一般先考虑直接开平方法或因式分解 法,若都不可行,则看二次项系数和一 次项系数,若二次项系数为１,一次项 系数为偶数,则考虑配方法,其他情况 都可以用公式法． 专题三　 一元二次方程根的判 别式及根与系数的关系 　　一元二次方程根的判别式b２－４ac 的作用是不解方程即可判断方程有无实 数根，它在解含未知系数的一元二次方 程时起限制作用，即未知系数的取值要 保证方程有实数根，它使用的前提是方 程为一元二次方程．在具体解题时，一定 要保证二次项系数a≠０． ７６ 　　根与系数的关系则是不解方程，通 过系数就能反映两根特征的方法．在实数 范围内运用一元二次方程根与系数的关 系时，必须注意b２－４ac≥０这个前提条 件，而应用判别式的前提条件是二次项 系数a≠０． 　　因此，解题时要注意分析题中有没 有隐含条件b２－４ac≥０和a≠０． 例３(四川南充中考)已知关于x 的一元 二次方程x２－６x＋(２m＋１)＝０有实 数根． (１)求m 的取值范围; (２)如果方程的两个实数根为x１、x２, 且２x１x２＋x１＋x２≥２０,求m 的取值 范围． 分析:(１)根据有实数根得到判别式Δ＝ (－６)２－４(２m＋１)≥０,然后解不等式 即可; (２)先根据根与系数的关系得到x１＋ x２＝６,x１x２＝２m＋１,再利用２x１􀅰 x２＋x１＋x２≥２０,得到２(２m＋１)＋６≥ ２０,最后解不等式并利用(１)中的结论 可确定满足条件的m 的取值范围． 解:(１)根据题意,得Δ＝(－６)２－４(２m＋ １)≥０, 解得m≤４． (２)根据题意,得x１＋x２＝６,x１x２＝ ２m＋１． 因为２x１x２＋x１＋x２≥２０, 所以２(２m＋１)＋６≥２０, 解得m≥３． 由(１),知m≤４, 所以m 的取值范围为３≤m≤４．  　　本题考查了一元二次方程根的 判别式、根与系数的关系,解题的关 键是掌握一元二次方程有实数根的