24.2 直角三角形的性质-【教材解读】2023秋九年级上册初三数学（华东师大版)

２４．２　直角三角形的性质


● 理解并掌握直角三角形的性质． ● 会用直角三角形的性质解决有关问题． 　　 J 知识点一　直角三角形斜边 上的中线的性质 (１)直角三角形的定义: 有一个角是直角的三角形叫做直角三 角形． (２)直角三角形的性质: 角:直角三角形的两个锐角互余; 边:直角三角形两直角边的平方和等 于斜边的平方(勾股定理)． 归纳:直角三角形的性质只有在直角 三角形中才成立,在一般的三角形中 不成立． 图２４．２Ｇ１ 在 Rt△ABC 中,∠ACB＝ ９０°,CD 是斜边上的中线, 如图２４．２Ｇ１所示,延长CD 到点E,使CD＝DE,连结 AE、BE．探索下面的结论: (１)四边形 ACBE 为平行四边形,依 据:对角线互相平分的四边形是平行 四边形． (２)四边形ACBE 为矩形,依据:有一 个角为直角的平行四边形是矩形． (３)四边形 ACBE 的对角线相等,即 AB＝CE,依据:矩形的对角线相等． (４)CD＝ １ ２CE＝ １ ２AB． 直角三角形斜边上的中线等于斜边的 一半． 【例１】(湖北随州中考)如图２４．２Ｇ２,在 △ABC 中,∠ACB＝９０°,M、N 分别 是AB、AC 的中点,延长BC 至点D, 使CD＝ １ ３BD ,连结DM、DN、MN．若 AB＝６,则DN＝　　　　． 图２４．２Ｇ２ 解析:连结CM(图略)． ０５１ 因为∠ACB＝９０°,M 是AB 的中点, 所以CM＝ １ ２AB＝３． 因为 M、N 分别是AB、AC 的中点, 所以 MN＝ １ ２CB ,MN∥BC． 又因为CD＝ １ ３BD , 所以CD＝ １ ２CB , 所以 MN＝CD． 又因为 MN∥BC, 所以四边形DCMN 是平行四边形, 所以DN＝CM＝３． 答案:３ 4 　　首先根据直角三角形斜边上的中 线的性质求得斜边上的中线的长,然 后依据三角形的中位线性质和平行四 边形的判定与性质求解． 知识点二　３０°角所对的 直角边的性质 图２４．２Ｇ３ 　 在Rt △ABC 中, ∠ACB＝９０°,∠A＝ ３０°,CD 是 斜 边 上 的中线,如图２４．２Ｇ３ 所示． 探索下面的结论: (１)因为CD 是斜边上的中线,所以 CD＝AD＝DB． (２)因为 ∠A ＝３０°,所以 ∠DCA ＝ ∠A＝３０°,所以∠DCB＝６０°． (３)因为CD＝DB,所以△CDB 是等 边三角形,所以CB＝BD＝ １ ２AB． 　在直角三角形中,如果一个锐角等于 ３０°,那么它所对的直角边等于斜边的 一半． (１)３０°角所对的直角边的性质只适合 于含３０°角的直角三角形． (２)应用３０°角所对的直角边的性质的 常见题型: ①计算或证明线段的倍数; ② 有 关 等 边 三 角 形 的 计 算 常 用 此 性质; ③三角形中含１５０°角时,常借助外角 ３０°并利用此性质进行解答． 【例２】如图２４．２Ｇ４所示,在△ABC 中, ∠C＝９０°,∠B＝３０°,AD 是△ABC 的角 平分线,若AC＝ ３．求线段AD 的长． 图２４．２Ｇ４ 解:在 △ABC 中,因 为 ∠C ＝９０°, ∠B＝３０°, 所以∠BAC＝６０°． 因为AD 是△ABC 的角平分线, 所以∠CAD＝３０°． 在Rt△ADC 中,设CD＝x,则AD＝ １５１ ２x,其中x＞０． 由勾股定理,得 AC２＋CD２＝AD２, 即 (３)２＋x２＝(２x)２, 解得x＝１(负值舍去), 所以AD＝２x＝２． 4 　　如果一个直角三角形有一个角等 于３０°,要先考虑３０°角所对的直角边 等于斜边的一半,再结合勾股定理列 出方程进行求解． 类型　直角三角形性质的应用 【例】如图２４．２Ｇ５,在△ABC 中,AB＝ BC,∠B＝１２０°,AB 的垂直平分线交 AC 于点D,交 AB 于点E．若 AC＝ ６厘米,求AD 的长． 图２４．２Ｇ５ 审题关键:要利用直角三角形的性质 解决问题,需要先构造直角三角形． 本题可连结BD,先判断△CBD 为 直角三角形,再根据直角三角形的 性质求解． 解:连结BD(图略)． 因为AB＝BC,∠ABC＝１２０°, 所以∠A＝∠C＝ １ ２ (１８０°－∠ABC)＝ ３０°． 因为DE 是AB 的垂直平分线, 所以AD＝BD, 所以∠ABD＝∠A＝３０°, 从而∠DBC＝∠ABC－∠ABD＝ ９０°, 所以DC＝２BD, 所以DC＝２AD． 因为AC＝６厘米, 所以AD＝ １ ３×６＝２ (厘米)． 　如图２４．２Ｇ６所示,将一张直角三角形 纸片 对 折,使 点 B、C 重 合,折 痕 为 DE,若 AC＝６,∠ACB＝９０°,∠B＝ ３０°,求△DBC 的面积． 图２４．２Ｇ６ ２５１ 误区　 缺少条件直接应用 直角三角形的