24.1 测量-【教材解读】2023秋九年级上册初三数学（华东师大版)

  - @   第２４章　解直角三角形 ２４．１　测　量


● 在探索的基础上掌握科学的测量方法． ● 复习巩固相似三角形知识,掌握利用相似三角形 和直角三角形的知识解决实际问题． 　　 J 知识点　 利用相似三角形 测量物高 太阳光下的投影是平行投影,在太阳 光下,同一时刻,物高与影长成正比． 归纳:在有平行光线的条件下,可以利 用同一时刻影长和物高成比例计算出 物体的高度． 相似三角形的对应边成比例． 归纳:在没有平行光线的条件下,可利 用相似三角形计算出物体的高度． 　如图２４．１Ｇ１,在地面上放置一个平面 镜E 来测量铁塔的高度．根据CD、DE、 EB 的数据可计算出铁塔AB 的高度． 图２４．１Ｇ１ 　 M  > M 由题意,知△CDE∽△ABE, 则 AB CD＝ BE DE ,即AB＝ BE􀅰CD DE ． 利用相似三角形的性质求物高的 步骤   > M (１)构造相似三角形; (２)证明三角形相似; (３)应用相似三角形的性 质,根据对应边成比例求解． 【例】一天早上,小张正向着教学楼 AB 走去,他 发 现 教 学 楼 后 面 有 一 水 塔 DC,可过了一会儿抬头一看,却看不 到水塔了,心里很是纳闷,示意图如图 ２４．１Ｇ２所示．经过了解,教学楼、水塔的 高分别为２０米和３０米,它们之间的距 离为３０米,小张身高为１．６米．小张要 想看到水塔,他与教学楼的距离至少 应有多少米? ５４１ 图２４．１Ｇ２ 解:如图 ２４．１Ｇ３(示意图),作 EG ∥ FC,交AB 于点H,交DC 于点G． 图２４．１Ｇ３ 根据题意,得 AH＝１８．４米,DG ＝２８．４ 米,HG ＝ ３０米． 由AH∥DG,得△EAH∽△EDG, 所以 EH EG ＝ AH DG ． 代入数据,得 EH EH＋３０＝ １８．４ ２８．４ ,解得EH＝５５．２米． 故小 张 与 教 学 楼 的 距 离 至 少 应 有 ５５．２米． 4 　　利用相似三角形求物体的高度 (或宽度、影长、距离等)时,根据题意 构造出相似三角形是解题的关键． 类型一　 应用物高与影长成 比例求物高 【例１】在实践活动课上,九(６)班数学课 外兴趣小组为了测量教学楼的高度, 在阳光下测量了同一时刻竹竿的影长 为０．５米,教学楼的影长为１５米．已知 竹竿 的 高 度 为 １．６ 米,求 教 学 楼 的 高度． 审题关键:太阳光是平行光线,依据同 一时刻物高与影长成正比,可求出 教学楼的高度． 解:示意图如图２４．１Ｇ４． 图２４．１Ｇ４ 因为同一时刻,物高与影长成正比, 所以 AE BE＝ CF DF． 又因为 AE＝１．６米,BE＝０．５米, DF＝１５米, 所以 １．６ ０．５＝ CF １５ ,所以CF＝４８米, 所以教学楼的高度为４８米． 　　本题的解题依据是,在平行光线 下,同一时刻物高与影长成比例．本题 也可应用相似三角形的知识来求解． １．如图２４．１Ｇ５,利用标杆BE 测量建筑物 DC 的高度,如果标杆BE 高为１．２米, 测得AB＝１．６米,BC＝８．４米,则楼高 ６４１ CD 是 (　　) 图２４．１Ｇ５ A．６．３米　　　　　B．７．５米 C．８米　　 D．６．５米 类型二　 利用相似三角形的 性质求物高(宽) 【例２】如图２４．１Ｇ６(示意图),丁轩同学 在晚上由路灯AC 走向路灯BD,当他 走到点P 时,发现身后他影子的顶部 刚好接触到路灯AC 的底部,当他向前 再步行２０米到达Q 点时,发现身前他 影子的顶部刚好接触到路灯BD 的底 部．已知丁轩同学的身高是１．５米,两 路灯的高度都是９米,求两路灯之间 的距离． 图２４．１Ｇ６ 审题关键:由于人和地面是垂直的,即 和路灯平行,故构成两组相似三角 形．根据对应边成比例,列等式即可 求解． 解:根据两三角形相似可知,１．５ ９ ＝ AP AB． 因为AP＝BQ,PQ＝２０米, 所以AB＝２AP＋２０．􀀋 所以 １．５ ９ ＝ AP ２AP＋２０ , 所以AP＝５米． 所以AB＝３０米, 即两路灯之间的距离为３０米． 􀀋因为两路灯一样高,所以AP＝BQ, 所以AB＝２AP＋２０． ２．小明设计用手电来测量某古城墙高度 的示意图如图２４．１Ｇ７所示．点P 处放 一水平的平面镜,光线从点A 出发经 平面镜反射后刚好射到古城墙CD 的 顶端C 处．已知 AB⊥BD,CD⊥BD, 且测 得 AB ＝１．２米,BP ＝１．８ 米, PD＝１２米,那么该古城墙的高度是 (　　) 图２４．１Ｇ７ A．６米 B．８米 C．１８米 D．２４米 类型三　利用勾股定理求 物高(宽) 图２４．１Ｇ８ 【例３】如图２４．１Ｇ８,一种盛饮料 的圆柱形杯子,测得内部底面 直径为５厘米,高为１