第13章 全等三角形 章末整合提升-【教材解读】2023秋八年级上册初二数学（华东师大版)

章末整合提升 专题一　全等三角形的性质与判定 　　对全等三角形，可从应用和判定两 个角度分析: (１)应用:几何中有关线段和角相等的问 题一般通过构建全等三角形来解决．这是 解决相等问题时首先要考虑的方法． (２)判定:对于全等三角形的判定，要根 据不同的条件灵活应用不同的判定方法． 在应用判定方法的时候,要注意隐含条 件的应用，如对顶角相等、公共边(角) 相等、直角相等．如果两个三角形是直角 三角形,首先要考虑 H．L．的应用,然后考 虑一般判定方法的应用． 例１ (湖北孝感中考)如图１３Ｇ１,BD⊥ AC 于点D,CE⊥AB 于点E,AD＝ AE．求证:BE＝CD． 图１３Ｇ１ 分析:要证明BE＝CD,只要证明AB＝ AC 即可．由条件可以证明△AEC 和 △ADB 全等,从而可以证得结论． 证明:因为BD⊥AC,CE⊥AB, 所以∠ADB＝∠AEC＝９０°． 在△ADB 和△AEC 中, ３３１ ∠ADB＝∠AEC, AD＝AE, ∠A＝∠A, ì î í ï ï ï ï 所以△ADB≌△AEC(A．S．A．), 所以AB＝AC． 又因为AD＝AE, 所以BE＝CD． 4 　　三角形全等是证明线段相等、角 相等的最基本、最常用的方法．这不仅 是因为全等三角形有很多重要的线段 相等、角相等的特征,还因为全等三角 形能把已知的线段相等、角相等与未 知的结论联系起来． 例２如图１３Ｇ２,在△ABC 和△BDE 中, 点C 在边BD 上,边AC 交边BE 于点 F,若AC＝BD,AB＝ED,BC＝BE, 则∠ACB 等于　 (　　) 图１３Ｇ２ A．∠EDB B．∠BED C． １ ２∠AFB D．２∠ABF 解析:因为AC＝BD,AB＝ED,BC＝BE, 所以 △ABC≌ △DEB,所 以 ∠ACB＝ ∠DBE．因为∠AFB 是△BFC 的外角, 所以∠AFB＝∠ACB＋∠DBE,所 以 ∠AFB ＝ ２ ∠ACB,即 ∠ACB ＝ １ ２∠AFB． 答案:C 4 　　本题考查了全等三角形的判定与 性质,需利用全等三角形的判定与性 质、三角形的外角的性质解答． 专题二　等腰(等边)三角形的性质 与判定　　　　　　　　　　　　 　　等腰三角形和等边三角形的性质与 判定的比较: 性质 判定 等 腰 三 角 形 ①等腰三角 形 的 两 腰 相等; ②等边对等角; ③顶角的平分线、底边上 的中线和底边上的高相 互重合(即“三线合一”); ④是轴对称图形,有１ 条或３条对称轴 ①有两边相等 的三角形; ②等角对等边 等 边 三 角 形 ①具有等腰三角形的所 有性质; ②三个角都是６０°; ③是轴对称图形,有３ 条对称轴 ①三边相等的 三角形; ②三个角都相 等的三角形; ③有一个角是 ６０°的 等 腰 三 角形 例３如图１３Ｇ３,在Rt△ABC 中,D、E 为斜 边AB 上的两个点,且BD＝BC,AE＝ AC,则∠DCE 的大小为　　　　． ４３１ 图１３Ｇ３ 解析:在△BCD 中,由BD＝BC,得∠BCD＝ ∠BDC,所以∠BDC＝ １８０°－∠B ２ ． 同理,在△ACE 中,∠AEC＝ １８０°－∠A ２ ． 所以在△CDE 中, ∠DCE＝１８０°－(∠AEC＋∠BDC) ＝１８０°－ ( １８０°－∠A ２ ＋ １８０°－∠B ２ ) ＝１８０°－ ３６０°－(∠A＋∠B) ２ ＝ ∠A＋∠B ２ ＝ ９０° ２ ＝４５°． 答案:４５° " 　　解答本题的关键是由等腰三角形 的性质寻找角之间的数量关系,再利 用三角形的内角和定理求解． 例４如图１３Ｇ４,过边长为１的等边三角 形ABC 的边AB 上一点P,作PE⊥ AC 于点E,Q 为BC 延长线上一点．当 PA＝CQ 时,连结PQ 交AC 边于点 D,求DE 的长． 图１３Ｇ４ 解:如图１３Ｇ５,过点 P 作PM ∥BC,交 AC 于点M,则△APM 是等边三角形． 又因为PE⊥AM, 所以AE＝EM． 因为PM∥CQ, 所以∠PMD＝∠QCD, ∠MPD＝∠Q． 又因为PA＝PM＝CQ, 所以△PMD≌△QCD． 所以CD＝DM． 所以DE＝DM＋ME＝ １ ２ (AM＋MC)＝ １ ２AC＝ １ ２． 图１３Ｇ５ " 　　通过添加辅助线,构造等边三角 形及全等三角形,从而得到相关线段 之间的数量关系． 专题三　尺规作图 尺规作图的一般步骤: 第１步：写出已知．当作图题用文字语言 叙述时,要把文字语言转化为数学语言． 第２步：写出求作．根据作图要求,写出 要作的图形及此图形应满足的条件． 第３步：写出作法．根据作图的先后顺 序,写出每一步的操作过程．当不要求写 作法时,要保留作图痕迹． ５３１ 例５如图１３Ｇ６,一块三角形模具的阴影 部分已破损． (１)只要从残