12.1 幂的运算-【教材解读】2023秋八年级上册初二数学（华东师大版)





 第１２章　整式的乘除 １２．１　幂的运算


● 理解同底数幂的乘法法则,能利用该法则熟练地 进行计算． ● 理解 幂 的 乘 方 法 则,能 利 用 该 法 则 熟 练 地 进 行 计算． ● 理解 积 的 乘 方 法 则,能 利 用 该 法 则 熟 练 地 进 行 计算． ● 理解同底数幂的除法法则,能利用该法则熟练地 进行计算． 　　 J 知识点　同底数幂的乘法 法则 an 表示n个相同的因数a 的积,反之, n个相同的因数a 的积可以记为an．例 如,２４ 表示２×２×２×２;２×２×２×２× ２×２×２可以记为２７． ２３×２２＝(２×２×２)×(２×２)＝２(５); a３􀅰a２＝(a􀅰a􀅰a)􀅰(a􀅰a)＝a(５)． 字母表示:am 􀅰an＝am＋n(m、n 为正 整数)． 语言描述:同底数幂相乘,底数不变, 指数相加． '. (１)法则运用的条件:①同底数的幂; ②相乘． (２)底数:底数可以为数字,可以为单 项式,也可以为多项式．  (１)当三个或三个以上的同底数幂相 乘时,可推广为am 􀅰an 􀅰􀆺􀅰ap ＝ am＋n＋􀆺＋p(m、n、􀆺、p 都是正整数)． ２２ (２)am 􀅰an＝am＋n 可逆用为am＋n ＝ am􀅰an(m、n 都是正整数)． (３)当底数互为相反数时,根据幂的符 号法则(互为相反数的两个数的偶次 方相等,奇次方互为相反数),可将其 转化 为 同 底 数 幂 进 行 计 算．例 如, (－a)２􀅰a＝a２ 􀅰a,(－a)３ 􀅰a＝ －a３􀅰a． 同底数幂的乘法法则的运用 (１)直接运用法则 【例１】计算:(１)１０２􀅰１０３; (２)x２􀅰x３􀅰x５; (３)(a＋b)２􀅰(a＋b)４． 解:(１)原式＝１０２＋３＝１０５． (２)原式＝x２＋３＋５＝x１０． (３)原式＝(a＋b)２＋４＝(a＋b)６． 4 　　同底数幂相乘,找出相同的底数, 底数不变,指数相加． 　(２)综合运用 【例２】计算:(１)－２２×(－２)４; (２)(a－b)３􀅰(b－a)２; (３)x２􀅰x３－２x５． 解:(１)原式＝－２２×２４＝－２６． (２)方法１:原式＝(a－b)３􀅰(a－b)２＝ (a－b)５． 方法２:原式＝－(b－a)３􀅰(b－a)２＝ －(b－a)５． (３)原式＝x５－２x５＝－x５． 4 (１)(－a)m􀅰an＝ am􀅰an＝am＋n(m 为正偶数), －am􀅰an＝－am＋n(m 为正奇数),{ 其中,n 为正整数． (２)同底数幂的乘法与整式的加减的 区别:①运算性质不同,一个是乘法, 一个是加减法;②同底数幂的乘法是 底数不变,指数相加,整式的加减实质 是合并同类项． 同底数幂的乘法法则的逆用 【例３】(黑龙江大庆中考)若am＝２,an＝ ８,则am ＋n＝ ． 解析:am ＋n＝am􀅰an＝２×８＝１６． 答案:１６ 4 　　同底数幂的乘法法则既可以正用, 也可以逆用．当幂指数相加时,代数式可 以转化为同底数幂的乘法． 知识点　幂的乘方法则 am􀅰an＝am＋n(m、n 为正整数); a４􀅰a４􀅰a４＝a１２． (２４)２＝２４×２４＝２(８),其中８＝４×２; (a４)３＝a４􀅰a４􀅰a４＝a(１２),其中１２＝ ４×３． 字母表示:(am)n ＝amn (m、n 为正 整数)． ３２ 语言描述:幂的乘方,底数不变,指数 相乘．  　　幂的乘方的法则可以是多层幂的 运算,如[(am)n]p ＝amnp (m、n、p 为 正整数)． '. (１)幂的乘方与同底数幂的乘法的区 别:幂的乘方运算是转化为指数的乘 法运算(底数不变);同底数幂的乘法 运算是转化为指数的加法运算(底数 不变)． (２)幂 的 乘 方 具 有 可 逆 性:amn ＝ (am)n＝(an)m(m、n 为正整数)． 幂的乘方法则的运用 【例４】计算:(１)(１０３)４;　(２)(a２)４; (３) ( １ ２) ２é ë ê ê ù û ú ú ３ ． 解:(１)原式＝１０３×４＝１０１２． (２)原式＝a２×４＝a８． (３)原式＝ ( １ ２) ２×３ ＝ ( １ ２) ６ ＝ １ ６４． 4 　　幂的乘方中,底数可以为单独的 一个数、一个字母,也可以为多项式． 幂的乘方法则的逆用 【例５】已知am＝－２,则a３m＝ ． 解析:a３m＝(am)３＝(－２)３＝－８． 答案:－８ 4 　　幂的乘方法则既可以正用,也可 以逆用．当幂指数相乘时,可以转化为 幂的乘方． 知识点　积的乘方法则 (５a)３＝(５a)􀅰(５a)􀅰(５a)(乘方的意义) ＝(５×５×５)×(a􀅰a􀅰a