2.5 有理数的大小比较-【教材解读】2023秋七年级上册初一数学（华东师大版)

２．５　有理数的大小比较


● 会用绝对值比较两个负数的大小． ● 会比较任意两个有理数的大小． ● 通过两个负数大小的比较,体会转化和分类讨论的数学 思想． ● 在比较两个负数大小的推理过程中,提升思维能力． 　 J 知识点一　两个负数的大小比较 填空 (１)如图２．５Ｇ１,在数轴上的四个点A, B,C,D 所表示的数分别为－１,－１．５, －３,－３．５,则 －３．５＜－３＜－１．５＜ －１． 图２．５Ｇ１ (２)将上述四个数的绝对值按从大到 小的顺序排列为|－３．５|＞|－３|＞ |－１．５|＞|－１|． 归纳:在数轴上,表示两个负数的两个 点中,与原点距离较远的那个点表示 的数小,与原点距离较近的那个点表 示的数大． 两个负数,绝对值大的反而小． 比较两个负数大小的步骤 第１步:分别求出两个负数的绝对值; 第２步:比较两个绝对值的大小; 第３步:根据“两个负数,绝对值大的反而 小”作出判断． 【例１】比较－ １ ３ 与－ ３ ４ 的大小． 审题关键:两个负数比较大小,要先求 出它们的绝对值,再根据绝对值的 大小和两个负数大小比较的法则, 确定出原数的大小． ８３ 解:因 为 － １ ３ ＝ １ ３ ＝ ４ １２ , － ３ ４ ＝ ３ ４＝ ９ １２ ,而４ １２＜ ９ １２ ,所以－ １ ３＞－ ３ ４． 4 根据法则,两个负数比较大小,不 必再通过画数轴进行比较,而是直接 比较两个负数的绝对值的大小———两 个负数,绝对值大的反而小． 知识点二　有理数的大小比较   > M 数轴比较法 先将各有理数在数轴上 表示出来,再根据“在数轴上表示的两 个数,右边的数总比左边的数大”进行 比较． 绝对值比较法 根据法则,分类比较: 【例２】比较下列各组数的大小: (１)－(－５)与－|－５|; (２)－(＋３)与０; (３)－ ４ ５ 与－ － ３ ４ ; (４)－π与－|－３．１４|． 审题关键:比较两个有理数的大小,如 果有多重符号,就先化简,再看这两 个数的正负号,最后根据法则判断 大小关系． 解:(１)这是含有多重符号的数比较大 小,分别化简两数,得 －(－５)＝５, －|－５|＝－５． 因为５＞－５,所以－(－５)＞－|－５|． (２)化简－(＋３)＝－３． 因为负数小于０,所以－３＜０, 所以－(＋３)＜０． (３)化简－ － ３ ４ ＝－ ３ ４． 这是两个负数比较大小, 因为 － ４ ５ ＝ ４ ５＝ １６ ２０ , － ３ ４ ＝ ３ ４＝ １５ ２０ ,而１６ ２０＞ １５ ２０ , 所以－ ４ ５＜－ － ３ ４ ． (４)化简－|－３．１４|＝－３．１４． 这是两个负数比较大小, 因为|－π|＝π,|－３．１４|＝３．１４, 而π＞３．１４, 所以－π＜－|－３．１４|． 4 在比较两个数的大小时,可能给 出的数不容易直接观察出大小,要先 化简,再 选 择 适 当 的 比 较 方 法 进 行 比较． ９３ 类型一　有理数的大小比较 【题根１】用“＜”号将－２．５,０,１,４．５,－４, －３ １ ３ ,－(－５),－|－５|连接起来． 审题关键:解决此类问题时,首先将含 多重符号的数化简,然后将各数填 入如图２．５Ｇ２所示的数集中,再分别 将负数集和正数集中的数用“＜”号 连接起来,最后把连接起来的“负数 串”放在负数集中,“正数串”放在正 数集中即可． 图２．５Ｇ２ 解:方法１:化简－(－５)＝５,－|－５|＝ －５．如图２．５Ｇ３所示． 图２．５Ｇ３ 因为|－２．５|＝２．５,|－４|＝４, －３ １ ３ ＝３ １ ３ ,|－|－５||＝５, 而２．５＜３ １ ３＜４＜５ , 所以负数集里的几个负数的大小关系 为－|－５|＜－４＜－３ １ ３＜－２．５． 因为正数集里的几个正数的大小关系 为１＜４．５＜－(－５), 所以－|－５|＜－４＜－３ １ ３＜－２．５＜ ０＜１＜４．５＜－(－５)． 方法２:如图２．５Ｇ４所示,在数轴上把 各数表示的点标出,根据“在数轴上表 示的两个数,右边的数总比左边的数 大”可得,－|－５|＜－４＜－３ １ ３＜ －２．５＜０＜１＜４．５＜－(－５)． 图２．５Ｇ４ １．用“＞”号将－９,０,－π,３．１４,２．６, １０ ３ 连 接起来． 类型二　有理数的大小比较与 数轴、相反数、绝对值等知识的 综合应用 【题根２】已知|a|＞|b|,a＞０,b＜０,把 －a,－b,a,b 按从小到大的顺序排 列,并用“＜”号连接起来． 审题关键:比较用字母表示的数的大 小时,若 直 接 比 较 很 抽 象,困 难 较 大,可以利用数轴比较． 解:因为a＞０,b＜０,所以a 为正数,b 为负数．因为|a|＞|b|,所以表示a 的 点离原点较远,表示b 的点离原