第08讲 直线与圆的位置关系-【暑假自学课】2023年新高二数学暑假精品课（苏教版2019选择性必修第一册）

第08讲 直线与圆的位置关系 1．能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系．　 2．能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题和实际问题，体会用代数方法处理几何问题的思想．　 3．会用“数形结合”的数学思想解决问题． 知识点一 直线与圆的位置关系 设直线l和圆C的方程分别为Ax＋By＋C＝0，x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，圆心到直线l的距离为d，圆的半径为r，则直线l与圆C的方程联立方程组 我们有如下结论： 方程组无解 方程组仅有一组解 方程组有两组不同的解 直线与圆没有公共点 直线与圆有且只有一个公共点 直线与圆有两个公共点 相离 相切 相交 d>r d＝r d<r 知识点二 用坐标法解决平面几何问题的“三步曲” 用坐标法解决几何问题时，先用坐标和方程表示相应的几何元素：点、直线、圆，将几何问题转化为代数问题；然后通过代数运算解决代数问题；最后解释代数运算结果的几何含义，得到几何问题的结论．这就是用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”： 考点一：直线与圆位置关系的判断 例1 求直线x－y－1＝0和圆x2＋y2＝13的公共点的坐标，并判断它们的位置关系． 【总结】 判断直线与圆位置关系的方法 (1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断； (2)代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断． 变式 已知直线l：x－y＝0与圆C：(x－7)2＋(y－1)2＝36，试判断直线l与圆C的位置关系，若相交求出交点坐标． 考点二：切线问题 例2 (1)设直线mx－y＋2＝0与圆x2＋y2＝1相切，则m＝________； (2)过点A(－1,4)作圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1的切线l，切线l的方程为__________________． 【总结】 1．过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程的求法 先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－，由点斜式可得切线方程．如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y0或x＝x0． 2．过圆外一点(x0，y0)的切线方程的求法 设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k，也就得切线方程．当用此法只求出一个方程时，另一个方程应为x＝x0，因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况，而过圆外一点的切线有两条．一般不用联立方程组的方法求解． 3．求切线长(最值)的两种方法 (1)代数法：直接利用勾股定理求出切线长，把切线长中的变量统一成一个，转化成函数求最值； (2)几何法：把切线长最值问题转化成圆心到直线的距离问题． 变式 过点A(－1,4)作圆C：x2＋y2＝17的切线l，切线l的方程为__________________． 考点三：弦长问题 例3 如果一条直线经过点M且被圆x2＋y2＝25所截得的弦长为8，求这条直线的方程． 【总结】 求弦长的两种方法 (1)由半径长r、弦心距d、弦长l的一半构成直角三角形，所以利用勾股定理d2＋2＝r2求解，这是常用解法； (2)联立直线与圆的方程，消元得到关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两交点横坐标(或纵坐标)之间的关系，代入两点间距离公式求解．此解法很烦琐，一般不用． 变式 求直线l：3x＋y－6＝0被圆C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦长． 考点四：直线与圆的方程的实际应用 例4 一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为20 km的圆形区域内．已知小岛中心位于轮船正西40 km处，港口位于小岛中心正北30 km处．如果轮船沿直线返港，那么它是否会有触礁危险？ 【总结】应用直线与圆的方程解决实际问题的步骤 (1)审题：从题目中抽象出几何模型，明确已知和未知； (2)建系：建立适当的直角坐标系，用坐标和方程表示几何模型中的基本元素； (3)求【解析】利用直线与圆的有关知识求出未知； (4)还原：将运算结果还原到实际问题中去． 变式 街头有一片绿地，绿地的四条边界(单位：m)如图所示，其中ABC为圆弧，求此绿地的面积(精确到0．1 m2)． 考点五：直线与圆的方程在几何问题中的应用 例5 在△ABO中，|OB|＝3，|OA|＝4，|AB|＝5，P是△ABO的内切圆上的一点，求以|PA|，|PB|，|PO|为直径的三个圆的面积之和的最大值与最小值． 【总结】坐标法建立直角坐标系应坚持的原则 (1)若有两条相互垂直的直线，一般以它们分别为x轴和y轴； (2)充分利用图形的对称性； (3)让尽可能多的点落在坐标轴上，或关于坐标轴对称； (4)关键点的坐标易于求得． 变式 如图，Rt△ABC的斜边长为定值2m，以斜边的中点O为圆心作半径为n的圆，直线BC交圆于P，Q两点，求证：|AP|2＋|AQ|2＋