专题三 平行线中的拐点问题（讲义）-2023年数学人教版七年级升八年级暑假培优专题训练

数学七年级下暑假培优专题训练 专题三、平行线中的拐点问题 【专题导航】 目录 【考点一 过一个拐点作平行线求角度】.........................................1 【考点二 过多个拐点作平行线求角度】.........................................4 【考点三 与拐点有关的证明题】...............................................7 【考点四 与拐点有关的探究题】...............................................8 【聚焦考点1】 解题技巧提炼 当两条平行线不是被第三条直线所截,而是被一条折线所截时，平行线的性质则不能直接应用，遇到一个拐点时，只需过折线的“拐点”作一条平行线,利用平行公理的推论得出三条直线互相平行，从而多次利用平行线的性质解决问题. 【典例剖析1】 【考点一 过一个拐点作平行线求角度】 1. 猪蹄型 2. 铅笔型 M 3.鸡翅型 M 4.骨折型 【典例1-1】如图，直线，将一个直角三角尺按如图所示的位置摆放，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 【典例1-2】如图，直线a∥b，点M、N分别在直线a、b上，P为两平行线间一点，那么∠1+∠2+∠3等于（　　） A．360° B．300° C．270° D．180° 【典例1-3】探照灯、锅形天线、汽车灯以及其它很多灯具都与抛物线形状有关，如图所示是一探照灯灯碗的纵剖面，从位于O点的灯泡发出的两束光线OB、OC经灯碗反射以后平行射出．如果图中∠ABO＝32°，∠DCO＝78°，则∠BOC的度数为（　　） A．46° B．92° C．110° D．100° 【典例1-4】为增强学生体质，某学校将“抖空竹”引入阳光体育一小时活动．图1是一位同学抖空竹时的一个瞬间，数学老师把它抽象成图2的数学问题：已知AB∥CD，∠EAB＝80°，∠ECD＝110°．求∠AEC的度数．小明在解决过程中，过E点作EF∥CD，则可以得到EF∥AB，其理由是 　 　，根据这个思路可得∠AEC＝　 　． 针对训练1 【变式1-1】（1）已知：如图（a），直线．求证：； （2）如图（b），如果点在与之外，其他条件不变，那么会有什么结果？你还能就本题作出什么新的猜想？ 【变式1-2】如图： （1）若，猜想图①中，、与之间的数量关系并加以证明； （2）若，如图②，直接写出、与之间的数量关系：　　． （3）学以致用：一个小区大门栏杆的平面示意图如图所示，垂直地面于，平行于地面，若，则　　． 【变式1-3】如图，AB∥DE，∠1＝25°，∠2＝110°，求∠BCD的度数． 【变式1-4】如图，AB∥CD，则∠1+∠3—∠2的度数等于 __________． 【聚焦考点2】 解题技巧提炼 题型一中的题平行线间有个一折点，只需过折点处作一条辅助平行线即可，若有个多个折点，则需要过每一个折点作辅助平行线，再利用平行线的判定和性质解决问题即可. 【典例剖析2】 【考点二 过多个拐点作平行线求角度】 【典例2-1】 如图，，，平分，平分，则　　 A． B． C． D ． 【典例2-2】如图所示，已知AB∥CD，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，∠BED＝115°，那么∠BFD的度数是（　　） A．62° B．64° C．57.5° D．60° 【典例2-3】如图，已知，，则、与的关系是　　． 针对训练2 【变式2-1】（2022春•新洲区期末）如图，AB∥EF，则∠A，∠C，∠D，∠E满足的数量关系是（　　） A．∠A+∠C+∠D+∠E＝360° B．∠A+∠D＝∠C+∠E C．∠A﹣∠C+∠D+∠E＝180° D．∠E﹣∠C+∠D﹣∠A＝90° 【变式2-2】如图，，平分，平分，，求． 【变式2-3】已知：点A、C、B不在同一条直线上，AD∥BE （1）如图①，当∠A＝58°，∠B＝118°时，求∠C的度数； （2）如图②，AQ、BQ分别为∠DAC、∠EBC的平分线所在直线，试探究∠C与∠AQB的数量关系； （3）如图③，在（2）的前提下，且有AC∥QB，QP⊥PB，直接写出∠DAC：∠ACB：∠CBE的值． 【聚焦考点3】 解题技巧提炼 对于两条平行线间“折线”与“拐点”的证明题，一般都是在拐点处作平行线，使问题转化，从而构造一些相等的角或互补的角，使已知和未知一目了然，达到解题的目的，具体步骤是： ①作辅助线（过拐点处作平行线）； ②找特殊角（找相等的角或互补的角）