第24章 圆 章末整合提升-【教材解读】2023秋九年级下册初三数学（沪科版)

章末整合提升 请从右表中选择正确的关键词,将其对应选项代号填入左侧框图中相应的横线上． ８２１ 答案:①C　②C　③A　④F　⑤B　⑥G　⑦J　⑧B　⑨C　􀃊􀁉􀁒D　􀃊􀁉􀁓C　􀃊􀁉􀁔C　􀃊􀁉􀁕H 􀃊􀁉􀁖K　􀃊􀁉􀁗M　􀃊􀁉􀁘L　􀃊􀁉􀁙L　􀃊􀁉􀁚E　􀃊􀁉􀁛I　􀃊􀁊􀁒N 考点一　旋转及其性质 图形的旋转是由旋转中心、旋转角、 旋转方向确定的,图形旋转后不改变图 形的原有属性,旋转前后的两个图形是 全等形．旋转是图形变换的一种,考查形 式灵活多样,可以单独考查,以选择题、 填空题的形式出现,也可以结合坐标系 考查或作为解答题中的一个问题出现． 图２４Ｇ１ 例１(江苏无锡中考)如 图２４Ｇ１,在 Rt△ABC 中,∠ACB ＝ ９０°, ∠ABC＝３０°,AC ＝ ２,△ABC 绕点C 顺 时针旋转得△A１B１C,当A１落在AB 边上时,连接B１B,取BB１的中点D, 连接A１D,则A１D 的长度是 (　　) 　　　　　　　　　　　　　A．７ B．２２ C．３ D．２３ 解析:因为 ∠ACB＝９０°,∠ABC＝３０°, AC ＝２,所以∠A＝９０°－ ∠ABC ＝ ６０°,AB ＝４,BC ＝２ ３．因 为 CA ＝ CA１, 所以 △ACA１ 是 等 边 三 角 形,AA１＝ AC ＝ BA１ ＝ ２,所 以 ∠BCB１ ＝ ∠ACA１＝６０°． 因为 CB＝CB１,所以△BCB１是等边 三角形． 所以BB１＝２３,BA１＝２,∠A１BB１＝ ９０°, 所以BD＝DB１＝ ３, 所以A１D＝ A１B２＋BD２ ＝ ７． 答案:A  　　解决这类问题,常根据旋转前后 是全等图形,得到线段和角之间的相 等关系,再利用等边三角形的性质和 判定、勾股定理等知识解决问题． 考点二　圆的概念及基本性质 圆的概念与基本性质是中考中的必 考内容,其中垂径定理,圆周角定理,圆 心角、弧、弦、弦心距之间的关系,直径的 性质等知识非常重要,不仅涉及图形的 位置关系(垂直),而且涉及图形的数量 关系(相等、平分),往往与勾股定理相结 合解题．对于圆的概念与基本性质的考 查,中考中常以选择题、填空题的形式出 现,有时也会结合其他知识出现在计算 题或证明题中． 例２ 如图 ２４Ｇ２,AB 是 ☉O 的直径,弦 CD⊥AB 于点E,点 P 在☉O 上,若 BC＝３,sin∠BPD＝ ３ ５ ,求☉O 的直径． 图２４Ｇ２ 分析:连接AC,根据垂径定理求出BD ︵ ＝ BC ︵,推出∠CAB＝∠P,解直角三角形 即可求出☉O 的直径． ９２１ 解:连接AC(图略)． 因为AB 是☉O 的直径, 所以∠ACB＝９０°． 因为CD⊥AB, 所以BD ︵ ＝BC ︵, 所以∠BPD＝∠CAB, 所以sin∠CAB＝sin∠BPD＝ ３ ５ ,即 BC AB＝ ３ ５． 因为BC＝３, 所以AB＝５, 即☉O 的直径为５．  　　当圆中出现相等的圆周角、圆心 角、弧、弦或弦心距时,常通过圆周角 定理或作辅助线找到其余的几个量, 再借助于它们之间的关系解决问题． 考点三　圆的切线的性质及判定的应用 圆的切线的判定及性质在中考中是 重要考点．切线的判定有两种方法:(１)圆 心到直线的距离等于圆的半径;(２)经过 半径外端点并且与这条半径垂直的直线 是圆的切线．掌握切线的性质,遇到切线 构造直角三角形是解题关键．在中考中常 以较为综合的解答题出现,是所占分值 较高的重要考点． 例３ (甘肃天水中考)如图 ２４Ｇ３,AB, BC,CD 分别与☉O 相切于点E,F, G,且 AB∥CD．连接 OB,OC,延长 CO 交☉O 于点M,过点 M 作MN∥ OB 交CD 于点N． (１)求证:MN 是☉O 的切线; (２)当 OB＝６cm,OC＝８cm 时,求 ☉O 的半径及MN 的长． 图２４Ｇ３ 分析:(１)切点已知,证明∠NMC＝９０°即 可;(２)利用勾股定理求出BC 的长,利 用三角形的面积公式求出 ☉O 的半 径,再借助相似三角形即可解决． (１)证明:因为AB,BC,CD 分别与☉O 切于点E,F,G, 所 以 ∠OBC ＝ １ ２ ∠ABC ,∠OCB ＝ １ ２∠DCB． 因为AB∥CD, 所以∠ABC＋∠DCB＝１８０°． 所以∠OBC＋∠OCB＝ １ ２ (∠ABC＋ ∠DCB)＝ １ ２×１８０°＝９０°． 所 以 ∠BOC ＝ １８０°－ (∠OBC ＋ ∠OCB)＝１８０°－９０°＝９０°． 所以∠BOM＝１８０°－∠BOC＝９０°． 因为 MN∥OB, 所以∠NMC＝∠BOM＝９０°． 所以OM⊥MN． 又因 为 MN 过 ☉O 的 半 径 OM 的 外端, 所以 MN 是☉O 的切线