24.8 综合与实践 进球线路与最佳射门角-【教材解读】2023秋九年级下册初三数学（沪科版)

　　　２４．８　综合与实践　进球线路与最佳射门角　　 　 　知识点　圆外角、圆周角和圆内角的大小关系 圆外角、圆内角的概念 名称 定义 图示 圆外角 顶点在圆外,并且两边都 是圆的割线,两割线的夹 角叫做圆外角 圆内角 顶点在圆内,并且两边都 与圆相交的角叫做圆内角 圆外角、圆周角和圆内角的大小关系 在弦的同侧,同弦所对的圆外角α、圆周角β 和圆内 角θ的大小关系为α＜β＜θ． 【例】如图２４．８Ｇ１,球员甲带球冲到A 点时,同伴乙已经 助攻冲到B 点．有两种射门方式:第一种是甲直接射 门;第二种是甲将球传给乙,由乙射门．仅从射门角度 考虑,应选择第　　　　种射门方式较为合理． 图２４．８Ｇ１ 　　　　　 图２４．８Ｇ２ 解析:在真正的足球比赛中情况会很复杂,这里仅用数 学方法从两点(把A,B 两处看作两点)的静止状态加 以考虑． 方法１:过P,M,B 三点作☉O,如图２４．８Ｇ２．因为在 ☉O 中,∠A 是弦PM 所对的圆外角,∠B 是弦PM 所对的圆周角,且∠A 与∠B 在弦PM 的同一侧,所 以∠B＞∠A．故选择第二种射门方式． 　 'F 圆外角、圆周角、圆内角的 大小关系是建立在弦的“同 侧”的条件下,去掉“同侧” 则不一定成立．另外,在 比 较大小时,还应注意是不是 “同弦”所对的三个角． ３２１ 　 方法２:过P,M,B 三点作☉O,设PA 交☉O 于点C, 连接CM,如图２４．８Ｇ２．根据圆周角定理,得∠PCM ＝ ∠B,根据三角形的外角的性质,得∠PCM ＞∠A,则 ∠B＞∠A．故选择第二种射门方式． 答案:二 4 　　足球射门问题,实际上就是比较同一条弦的同侧 圆周角与圆外角的大小关系．本题体现了数学建模思 想,从选择射门位置的实际问题中抽象出比较圆周角 与圆外角的大小问题． 　 １．初步思考: (１)如图２４．８Ｇ５①,AB 是 ☉O 的弦,点C 是☉O 上 的一点,在直线AB 上方 找一点D,使得∠ADB＝ ∠ACB,画出∠ADB,并 说明理由． (２)如图２４．８Ｇ５②,AB 是 ☉O 的弦,点C 是☉O 上 的一点,在过点C 的直线 l 上 找 一 点 P,使 得 ∠APB ＜ ∠ACB,画 出 ∠APB,并说明理由． ① 　　 ② 图２４．８Ｇ５ 题型　利用圆外角、圆内角和圆周角的 大小关系解决实际问题 【例】船在航行过程中,船长常常通过测定角度来确定是 否会遇到暗礁．如图２４．８Ｇ３,A,B 表示灯塔,暗礁分布 在经过A,B 两点的一个圆内,C 表示一个危险临界 点,∠C 就是“危险角”,当船P 与两个灯塔的夹角大于 “危险角”时,就有可能触礁． (１)当船P 与两个灯塔的夹角α大于“危险角”时,船P 位于哪个区域? 为什么? (２)当船P 与两个灯塔的夹角α小于“危险角”时,船P 位于哪个区域? 为什么? 图２４．８Ｇ３ ４２１ 审题关键:由题意可知“危险角”是圆周角,∠P 大于危 险角时有可能触礁,∠P 小于“危险角”时不会触礁． 破题思路:船P 所处区域有三种情况:(１)在☉O 上; (２)在☉O 内;(３)在☉O 外．分三种情况逐一讨论, 便可说明问题． 解:(１)当船P 与两个灯塔的夹角α大于“危险角”时, 船P 位于暗礁区域内(☉O 内)． 理由如下: ①假设船 P 在☉O 上,则α＝∠C,这与α＞∠C 矛盾, 所以船P 不可能在☉O 上; ②假设船 P 在☉O 外,∠APB 与∠C 分别是弦 AB 同侧所对的圆外角和圆周角, 所以α＜∠C,这与α＞∠C 矛盾． 所以船P 不可能在☉O 外． 综上所述,船P 只能在☉O 内． (２)当船P 与两个灯塔的夹角α 小于“危险角”时, 船P 位于暗礁区域外(☉O 外)． 理由如下: ①假设船P 在☉O 上,则α＝∠C,这与α＜∠C 矛 盾,所以船P 不可能在☉O 上; 图２４．８Ｇ４ ②假设船P 在☉O 内,如图２４．８Ｇ４ 所示． 因为∠APB,∠C 分别是弦AB 同 侧所对的圆内角、圆周角, 所以α＞∠C,这与α＜∠C 矛盾． 所以船P 不可能在☉O 内． 综上所述,船P 只能在☉O 外． ?  　　解决本题的关键是利用圆内角、圆外角以及圆 周角的大小关系解决问题．同时,在证明过程中应 用了反证法． 　 问题解决: (３)如图２４．８Ｇ６,已知足球 球门宽AB 约为５２ m, 一球员从距B 点５ ２ m 的C 点(点A,B,C 均在 球场底线上)沿与AC 成 ４５°角 的 CD 方 向 带 球． 试问,该球员能否在射线 CD 上找到一点P,使得 点P 为最佳射门点(即 ∠APB 最大)? 若能找 到,求出这时点 P 到点 C 的距离;若找不到,请 说明理由． 图２４．８Ｇ６ ２．如图２４．８Ｇ７,在某张航海 图上,标明了三个观