第10章 第4课时 概率、统计的综合问题(教参)-【名师导航】2024年高考数学一轮总复习(新教材新高考)人教版

第4课时　概率、统计的综合问题 考点一　以统计图表为载体的概率统计问题 [典例1]　(2022·广东佛山期末)双皮奶起源于清朝末期，是用水牛奶做原料，辅以鸡蛋和白糖制成．水牛奶中含有丰富的蛋白质，包括酪蛋白和少量的乳清蛋白，及大量人体生长发育所需的氨基酸和微量元素．不过新鲜的水牛奶保质期较短．某超市为了保证顾客能购买到新鲜的水牛奶又不用过多存货，于是统计了50天销售水牛奶的情况，获得如下数据： 日销售量/件 0 1 2 3 天数 5 10 25 10 假设水牛奶日销售量的分布规律保持不变，将频率视为概率． (1)求接下来三天中至少有2天能卖出3件水牛奶的概率； (2)已知超市存货管理水平的高低会直接影响超市的经营情况．该超市对水牛奶实行如下存货管理制度：当天营业结束后检查存货，若存货少于2件，则通知配送中心立即补货至3件，否则不补货．假设某天开始营业时货架上有3件水牛奶，求第二天营业结束后货架上有1件存货的概率． [解]　(1)能卖出3件水牛奶的概率为＝，能卖出3件以下的概率为， ∴三天中至少有2天能卖出3件水牛奶的概率为C×＋C＝. (2)①若第一天营业结束后不补货，情况为A＝{销售0件}，B＝{销售1件}， 则P(A)＝，P(B)＝， 令C＝{第二天货架上有1件存货}，则P(C|A)＝，P(C|B)＝， ∴P(C)＝P(A)P(C|A)＋P(B)P(C|B)＝. ②若第一天营业结束后补货，情况为D＝{销售3件}，E＝{销售2件}，则P(D)＝，P(E)＝， 令F＝{第二天货架上有1件存货}，则P(F|D)＝，P(F|E)＝， ∴P(F)＝P(D)P(F|D)＋P(E)P(F|E)＝. ∴第二天营业结束后货架上有1件存货的概率为＋＝. 【教师备选题】 国家“双减”政策落实之后，某市教育部门为了配合“双减”工作，做好校园课后延时服务，特向本市小学生家长发放调查问卷了解本市课后延时服务情况，现从中抽取100份问卷，统计了其中学生一周课后延时服务总时间(单位：分钟)，并将数据分成以下五组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图． (1)估计该市小学生一周课后延时服务时间的众数、平均数、中位数(保留小数点后一位)； (2)通过调查分析发现，若服务总时间超过160分钟，则学生有不满情绪，现利用分层随机抽样的方法从样本问卷中随机抽取8份，再从抽取的8份问卷中抽取3份，记其中有不满情绪的问卷份数为X，求X的分布列及均值． [解]　(1)众数：150. 第一到五组频率分别为：0.05，0.15，0.55，0.2，0.05， 平均数：＝110×0.05＋130×0.15＋150×0.55＋170×0.2＋190×0.05＝151， 设中位数为x，则中位数在第3组， 则0.2＋×0.027 5＝0.5，x≈150.9. (2)用分层随机抽样抽取8份问卷， 其中学生有不满情绪的有8×(0.2＋0.05)＝2份， ∴X的可能取值为0，1，2， ∴P＝＝， P＝＝， P＝＝. ∴X的分布列为： X 0 1 2 P ∴E ＝0×＋1×＋2×＝. 　该类问题常常借助图形或表格，将文字、图表、数据等融为一体，考查考生的直观想象和数学建模素养，求解的关键是立足题干提取信息，结合统计的相关知识进行数据分析或结合概率模型求解相应概率． [跟进训练] 1．质检部门对设计出口的甲、乙两种“无人机”分别随机抽取100架检测某项质量指标，由检测结果得到如下的频率分布直方图： 甲　　　　　　　　乙 (1)写出频率分布直方图(甲)中a的值；记甲、乙两种“无人机”100架样本的质量指标的方差分别为s，s，试比较s，s的大小(只需给出答案)； (2)若质检部门规定质量指标高于20的无人机为优质产品，根据上面抽取的200架无人机的质量指标及小概率值α＝0.05的独立性检验，能否推断甲、乙两种“无人机”的优质率有差异； (3)由频率分布直方图可以认为，乙种“无人机”的质量指标值Z服从正态分布N(μ，σ2).其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s，设X表示从乙种无人机中随机抽取10架，其质量指标值位于[11.6，35.4]的架数，求X的数学期望． 注：①同一组数据用该区间的中点值作代表，计算得s2＝≈11.9； ②若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤Z≤μ＋σ)≈0.682 7， P(μ－2σ≤Z≤μ＋2σ)≈0.954 5； ③χ2＝，n＝a＋b＋c＋d. α 0.050 0.010 0.001 xα 3.841 6.635 10.828 [解]　(1)由(0.020＋a＋0.025＋a＋0.035)×10＝1，得a＝0.010.s>s. (2)甲种无人机中优质率为0.25＋0.1＋0.35＝0.7，所以甲种无