第10章 第2课时 用样本估计总体(教参)-【名师导航】2024年高考数学一轮总复习(新教材新高考)人教版

第2课时　用样本估计总体 [考试要求]　 1．会用统计图表对总体进行估计，会求n个数据的第p百分位数． 2．能用数字特征估计总体集中趋势和总体离散程度． 3．掌握分层随机抽样的样本方差． 1．总体百分位数的估计 (1)百分位数的定义 一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值． (2)计算一组n个数据的第p百分位数的步骤 第1步，按从小到大排列原始数据； 第2步，计算i＝n×p%； 第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数． (3)四分位数 ①25%，50%，75%这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数． ②第25百分位数又称第一四分位数或下四分位数；第75百分位数又称第三四分位数或上四分位数． 2．总体集中趋势的估计 名称 概念 平均数 如果有n个数x1，x2，…，xn，那么这组数据的平均数＝(x1＋x2＋…＋xn) 中位数 将一组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，处在最中间的一个数据(当数据个数是奇数时)或最中间两个数据的平均数(当数据个数是偶数时)叫做这组数据的中位数 众数 一组数据中出现次数最多的数据(即频数最大值所对应的样本数据)叫做这组数据的众数 3. 总体离散程度的估计 (1)方差和标准差 假设一组数据是x1，x2，…，xn，用表示这组数据的平均数，称_(xi－)2为这组数据的方差，也可以写成x－2的形式；称为这组数据的标准差． (2)总体方差和标准差 ①一般式：如果总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，总体平均数为，则总体方差S2＝ (Yi－)2. ②加权式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为f i(i＝1，2，…，k)，则总体方差为S2＝f i(Yi－)2. 总体标准差：S＝. (3)样本方差和标准差 如果一个样本中个体的变量值分别为y1，y2，…，yn，样本平均数为，则称s2＝ (yi－)2为样本方差，s＝为样本标准差． (4)分层随机抽样的方差 分层随机抽样中，如果样本量是按比例分配，记总的样本平均数为w，样本方差为s2. 以分两层抽样的情况为例，假设第一层有m个数，平均数为，方差为s；第二层有n个数，平均数为，方差为s，则总的样本均值＝＋；总的样本方差s2＝{m[s＋(－)2]＋n[s＋(－)2]}． [常用结论] 1．频率分布直方图中的常见结论 (1)众数的估计值为最高矩形的中点对应的横坐标． (2)平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和． (3)中位数的估计值的左边和右边的小矩形的面积和是相等的． 2．平均数、方差的公式推广 (1)若数据x1，x2，…，xn的平均数为，那么mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均数是m＋a. (2)数据x1，x2，…，xn的方差为s2. ①数据x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差也为s2； ②数据ax1，ax2，…，axn的方差为a2s2． 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势． (　　) (2)一组数据的方差越大，说明这组数据越集中. (　　) (3)频率分布直方图中，小矩形的面积越大，表示样本数据落在该区间的频率越高． (　　) (4)任何一组数据的第50百分位数与中位数的值是相同的． (　　) [答案]　(1)√　(2)×　(3)√　 (4)√ 二、教材习题衍生 1．(人教A版必修第二册P204探究改编)平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据分布的形态有关，在如图两种分布形态中，a，b，c，d分别对应平均数和中位数之一，则可能的对应关系是(　　) A．a为中位数，b为平均数，c为平均数，d为中位数 B．a为平均数，b为中位数，c为平均数，d为中位数 C．a为中位数，b为平均数，c为中位数，d为平均数 D．a为平均数，b为中位数，c为中位数，d为平均数 A　[在频率分布直方图中，中位数两侧小矩形的面积和相等，平均数可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积之和近似代替，结合两个频率分布直方图得： a为中位数，b为平均数，c为平均数，d为中位数．故选A.] 2．(人教A版必修第二册P203练习T2改编)某车间12名工人一天生产某产品(单位：kg)的数量分别为13.8，13，13.5，15.7，13.6，14.8，14，14.6，15，15.2，15.8，15.4，则所给数据的第25，