第9章 高考研究在线9 两种视角下探究二项分布概率的最值问题(教参)-【名师导航】2024年高考数学一轮总复习(新教材新高考)人教版

人教A版选择性必修第三册P81“探究与发现”中探究了二项分布的性质．设X～B(n，p)，则X的分布列为P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n. 　探究问题1　探究函数f (k)＝Cpkqn－k(k＝0，1，2，…，n)，p＋q＝1，p，q∈R＋的最值取得情况，其中k为自变量． 令＝≥1，k＝1，2，…，n. 得出结论如下： ①当(n＋1)p为整数时，则当k＝(n＋1)p时取得概率最大值，又＝1，故此时可取的k值有2个：k＝(n＋1)p或(n＋1)p－1； ②当(n＋1)p不为整数时，则当k＝[(n＋1)p](不超过(n＋1)p的最大整数)时概率取得最大值． [典例1]　(2022·河北石家庄二模)北京冬奥会已于2022年2月4日至2月20日顺利举行，这是中国继北京奥运会、南京青奥会后，第三次举办的奥运赛事．为助力冬奥，进一步增强群众的法治意识，提高群众奥运法律知识水平和文明素质，让法治精神携手冬奥走进千家万户，某市有关部门在该市市民中开展了“迎接冬奥·法治同行”主题法治宣传教育活动．该活动采取线上线下相结合的方式，线上有“知识大闯关”冬奥法律知识普及类趣味答题，线下有“冬奥普法”知识讲座，实现“冬奥＋普法”的全新模式．其中线上“知识大闯关”答题环节共计30个题目，每个题目2分，满分60分，现在从参与作答“知识大闯关”题目的市民中随机抽取1 000名市民，将他们的作答成绩分成6组：[0，10)，[10，20)，[20，30)，[30，40)，[40，50)，[50，60]，并绘制了如图所示的频率分布直方图． (1)请估计被抽取的1 000名市民作答成绩的平均数和中位数； (2)视频率为概率，现从所有参与“知识大闯关”活动的市民中随机取20名，调查其掌握各类冬奥法律知识的情况．记k名市民的成绩在[40，60]的概率为P(X＝k)，k＝0，1，2，…，20.请估计这20名市民的作答成绩在[40，60]的人数为多少时P(X＝k)最大？并说明理由． [解]　(1)由频率分布直方图可知，抽取的1 000名市民作答成绩的平均数 ＝5×0.05＋15×0.1＋25×0.2＋35×0.3＋45×0.25＋55×0.1＝34(分). 设1 000名市民作答成绩的中位数为x， 则0.05＋0.1＋0.2＋0.03×(x－30)＝0.5， 所以x＝35， 所以这1 000名市民作答成绩的平均数为34分，中位数为35分． (2)估计这20位市民的作答成绩在[40，60]的人数为7时概率最大， 由已知得X ～ B(20，0.35)， 所以P(X＝k)＝C0.35k(1－0.35)20－k，k＝0，1，…，20， 令k＝1，2，…，19， 即 即解得6.35≤k≤7.35， 由k∈N*，∴k＝7， 所以这20位市民的作答成绩在[40，60]的人数为7时P(X＝k)最大． 　本题属于n，p固定，探究以k为自变量的离散函数(数列)f (k)＝C0.35k(1－0.35)20－k，k＝0，1，…，20是否存在最值的问题，除本例解法外，也可以利用比商法，结合函数(数列)的单调性求解． 　探究问题2　探究函数f (p)＝Cpkqn－k(k＝0，1，2，…，n，n∈Z，0＜p＜1，p＋q＝1)的最值取得情况，其中p为自变量，n，k为常数． 由f ′(p)＝C[kpk－1(1－p)n－k－pk(n－k)(1－p)n－k－1]＝Cpk－1(1－p)n－k－1[k(1－p)－(n－k)p]＝Cpk－1(1－p)n－k－1(k－np)可知， (1)当k＝0时，f ′(p)＜0恒成立，f (p)在(0，1)上单调递减，f (p)无最值； (2)当k＝n时，f ′(p)＞0恒成立，f (p)在(0，1)上单调递增，f (p)无最值； (3)当k＝1，2，…，n－1时， 由于当p＜时，f ′(p)＞0，f (p)单调递增，当p＞时，f ′(p)＜0，f (p)单调递减，故当p＝时，f (p)取得最大值，f (p)max＝f . 又当p→0，f (p)→0，当p→1时，f (p)→0，从而f (p)无最小值． 上述两个问题的解决运用了函数与方程的思想，问题1中通过解不等式≥1比较f (k)与f (k－1)的大小．问题2中通过求导法判断函数的单调性求出最值．出于实际意义，一般更关注概率的最大值点的取得情况．存在最大值点的前提下，若视k为自变量，最大值点为某个随机变量，也可能是两个．若视p为自变量，f (p)＝Cpkqn－k，n，k为常数，相当于以p为自变量的多项式函数在(0，1)求最大值，最大值点只有一个． [典例2]　(2018·全国Ⅰ卷)某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时