第9章 第7课时 二项分布、超几何分布与正态分布(教参)-【名师导航】2024年高考数学一轮总复习(新教材新高考)人教版

第7课时　二项分布、超几何分布与正态分布 [考试要求]　 1．理解二项分布、超几何分布的概念，能解决一些简单的实际问题． 2．借助正态曲线了解正态分布的概念，并进行简单应用． 1．n重伯努利试验与二项分布 (1)n重伯努利试验 把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验． 将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验． (2)二项分布 在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0＜p＜1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)． (3)两点分布与二项分布的均值、方差 ①若随机变量X服从两点分布，那么E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)． ②若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)． 提醒：在实际应用中，往往出现数量“较大”“很大”“非常大”等字眼，这表明试验可视为n重伯努利试验，进而判定是否服从二项分布． 2．超几何分布 (1)定义 在含有M件次品的N件产品中，随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝，k＝m，m＋1，m＋2，…，r，其中n，M，N∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}，称随机变量X服从超几何分布． (2)超几何分布的均值 若X服从参数为N，M，n的超几何分布，则E(X)＝． 3．正态曲线与正态分布 (1)我们称f (x)＝e，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，为正态密度函数，称其图象为正态密度曲线，简称正态曲线． (2)若随机变量X的概率分布密度函数为f (x)，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2).特别地，当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从标准正态分布． (3)正态曲线的特点 ①曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称； ②曲线在x＝μ处达到峰值； ③当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴． (4)正态变量在三个特殊区间内取值的概率 ①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7； ②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5； ③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3． 在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则． (5)正态分布的均值与方差 若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2． 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)X表示n次重复抛掷1枚骰子出现点数是3的倍数的次数，则X服从二项分布． (　　) (2)从4名男演员和3名女演员中选出4人，其中女演员的人数X服从超几何分布． (　　) (3)超几何分布与二项分布的期望值相同． (　　) (4)正态曲线与x轴围成的面积随参数μ，σ的变化而变化. (　　) [答案]　(1)√　(2)√　(3)√　(4)× 二、教材习题衍生 1．(人教A版选择性必修第三册P79例6改编)袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，则3次中恰有2次抽到黄球的概率是(　　) A．　 B．　　 C．　 D． D　[袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，每次取到黄球的概率P1＝，∴3次中恰有2次抽到黄球的概率P＝C××＝.] 2．(人教A版选择性必修第三册P78探究改编)设50个产品中有10个次品，任取产品20个，取到的次品可能有X个，则E(X)＝(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 A　[由题意，E(X)＝＝4.故选A.] 3．(人教A版选择性必修第三册P87练习T2改编)已知随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2)，若P(ξ＞2)＝0.023，则P(－2≤ξ≤2)＝(　　) A．0.477 B．0.628 C．0.954 D．0.977 C　[∵μ＝0，∴P(ξ＞2)＝P(ξ＜－2)＝0.023， ∴P(－2≤ξ≤2)＝1－2×0.023＝0.954.] 4．(人教A版选择性必修第三册P78例5改编)在含有3件次品的10件产品中，任取4件，X表示取到的次品的个数，则P(X＝2)＝________． 　[由题意得P(X＝2)＝＝.] 考点一　n重伯努利试验与二项分布 　n重伯努利试验及其概率 [典例1]　甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别为和.假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响，每人每次射击是否击中目标相互之间也没有影响． (1)求甲射击4次，至少有1次未击中目标的概率； (2)求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率； (3)假设每人连续2次未击中目标，则终止其射击．问：乙恰好射击5次后，被终止射击的概