第8章 第11课时 圆锥曲线中的证明、探索性问题(教参)-【名师导航】2024年高考数学一轮总复习(新教材新高考)人教版

第11课时　圆锥曲线中的证明、探索性问题 考点一　证明问题 　证明位置关系 [典例1]　(2022·江苏南通、扬州等联考)在平面直角坐标系Oxy中，已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(1，0)，离心率为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若过点F的直线l交C于A，B两点，线段AB的中点为M，分别过点A，B作C的切线l1，l2，且l1与l2交于点P，证明：O，P，M三点共线． [思维流程] [解]　(1)由题意得⇒椭圆的标准方程为＋＝1. (2)证明：由题意知直线l的斜率不为0，设直线l的方程为x＝my＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，P(x3，y3). 由⇒3(m2y2＋2my＋1)＋4y2＝12， 即(3m2＋4)y2＋6my－9＝0. Δ＝144(m2＋1)＞0，y1＋y2＝－，y1y2＝－， ∴y0＝＝，x0＝， ∴kOM＝－m. 直线l1的方程为＋＝1①， 直线l2的方程为＋＝1②， ②－①⇒(y2－y1)＝(x1－x2)， ⇒＝·＝－m， ∴＝－m＝kOP， ∴kOM＝kOP，即O，P，M三点共线． 　证明数量关系 [典例2]　已知顶点是坐标原点的抛物线Γ的焦点F在y轴正半轴上，圆心在直线y＝x上的圆E与x轴相切，且点E，F关于点M(－1，0)对称． (1)求E和Γ的标准方程； (2)过点M的直线l与圆E交于A，B两点，与Γ交于C，D两点，求证：|CD|＞|AB|. [思维流程]　 [解]　(1)设Γ的标准方程为x2＝2py，p＞0，则F. 已知点E在直线y＝x上， 故可设E(2a，a). 因为E，F关于M(－1，0)对称， 所以 解得 所以抛物线Γ的标准方程为x2＝4y. 因为圆E与x轴相切，故半径r＝|a|＝1， 所以圆E的标准方程为(x＋2)2＋(y＋1)2＝1. (2)证明：由题意知，直线l的斜率存在，设l的斜率为k，那么其方程为y＝k(x＋1)(k≠0). 则E(－2，－1)到l的距离d＝， 因为l与E交于A，B两点， 所以d2＜r2，即＜1， 解得k＞0， 所以|AB|＝2＝2. 由消去y并整理得，x2－4kx－4k＝0. Δ＝16k2＋16k＞0恒成立，设C(x1，y1)，D(x2，y2)， 则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4k， 那么|CD|＝|x1－x2| ＝· ＝4·. 所以＝ ＝＝＞＝2. 所以|CD|2＞2|AB|2，即|CD|＞|AB|. 　圆锥曲线中的常见证明问题 (1)位置关系方面的：如证明直线与曲线相切，直线间的平行、垂直，直线过定点等． (2)数量关系方面的：如存在定值、恒成立、相等等． 在熟悉圆锥曲线的定义与性质的前提下，一般采用直接法，通过相关的代数运算证明． [跟进训练] 1．(2022·广东肇庆二模)已知圆M：(x＋2)2＋y2＝的圆心为M，圆N：(x－2)2＋y2＝的圆心为N，一动圆与圆N内切，与圆M外切，动圆的圆心E的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)已知定点P，过点N的直线l与曲线C交于A，B两点，证明：∠APN＝∠BPN. [解]　(1)如图， 设圆E的圆心E(x，y)，半径为r， 则|EM|＝r＋，|EN|＝r－， 所以|EM|－|EN|＝2＜|MN|. 由双曲线定义可知，E的轨迹是以M，N为焦点， 实轴长为2的双曲线右支， 所以曲线C的方程为－y2＝1，x≥. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l的方程为x＝my＋2， 由于直线l与曲线C交于两点，故－＜m＜， 又所以(m2－3)y2＋4my＋1＝0， 故 又x1＝my1＋2，x2＝my2＋2，y1≠0，y2≠0， ∴＋＝＋＝2m＋·＝2m＋·＝0， 即kAP＋kBP＝0，所以∠APN＝∠BPN，得证． 考点二　探索性问题 [典例3]　(2022·山东济宁一模)已知椭圆C1：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，椭圆C1的上顶点与抛物线C2：x2＝2py(p＞0)的焦点F重合，且抛物线C2经过点P(2，1)，O为坐标原点． (1)求椭圆C1和抛物线C2的标准方程； (2)已知直线l：y＝kx＋m与抛物线C2交于A，B两点，与椭圆C1交于C，D两点，若直线PF平分∠APB，四边形OCPD能否为平行四边形？若能，求实数m的值；若不能，请说明理由． [思维流程] [解]　(1)由抛物线C2经过点P(2，1)，得4＝2p，所以p＝2， 故抛物线方程为x2＝4y. 抛物线C2：x2＝4y的焦点为F(0，1)，所以b＝1. 又椭圆C1的离心率e＝＝＝＝， 解得a＝2. 所以椭圆C1的标准方程为＋y2＝1. (2)四边形OCPD不是平行四边形，理由如下： 将y＝kx＋m代入x2＝4y，消去y并整理得： x2－4kx－4m＝0. 由题意知，Δ＝16k2＋16m＞0