第8章 第10课时 圆锥曲线中的范围、最值问题(教参)-【名师导航】2024年高考数学一轮总复习(新教材新高考)人教版

第10课时　圆锥曲线中的范围、最值问题 考点一　范围问题 [典例1]　已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点为F，右顶点为A(1，0)，点P是其渐近线上的一点，且以PF为直径的圆过点A，|PO|＝2，点O为坐标原点． (1)求双曲线C的标准方程； (2)当点P在x轴上方时，过点P作y轴的垂线与y轴相交于点B，设直线l：y＝kx＋m(km≠0)与双曲线C相交于不同的两点M，N，若|BM|＝|BN|，求实数m的取值范围． [思维流程] [解]　(1)∵F(－c，0)，A(a，0)，双曲线C的渐近线方程为y＝±x，以PF为直径的圆过点A，∴PA⊥AF.不妨取点P在y＝x上，设点P，＝，＝(a＋c，0)， ∵PA⊥AF，则·＝(t－a)(a＋c)＝0，可得t＝a，则点P(a，b)， ∵|PO|＝2，则a2＋b2＝4，∵a＝1，则b2＝3， ∴双曲线C的标准方程为x2－＝1. (2)由题意可知B(0，)，设M(x1，y1)，N(x2，y2)， 线段MN中点Q(x0，y0)，联立 消去y得(3－k2)x2－2kmx－m2－3＝0， 依题意 即，① 由根与系数的关系可得x1＋x2＝，x1x2＝－， 则x0＝＝，y0＝kx0＋m＝， ∵|BM|＝|BN|，∴BQ⊥MN， ∴kBQ＝＝＝－， ∴3－k2＝m，② 又k2＝3－m＞0，③ 由①②③得：m＜－或0＜m＜. 【教师备选题】 已知椭圆的一个顶点A(0，－1)，焦点在x轴上，离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)设直线y＝kx＋m(k≠0)与椭圆交于不同的两点M，N.当|AM|＝|AN|时，求m的取值范围． [解]　(1)设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)， 联立解得 故椭圆的标准方程为＋y2＝1. (2)设P(x0，y0)为弦MN的中点，M(x1，y1)，N(x2，y2). 联立得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4(m2－1)＝0. 则x1＋x2＝，x1x2＝. Δ＝(8km)2－16(4k2＋1)(m2－1)＞0， 所以m2＜1＋4k2.① 所以x0＝＝－，y0＝kx0＋m＝. 所以kAP＝＝－. 又|AM|＝|AN|，所以AP⊥MN， 则－＝－，即3m＝4k2＋1.② 把②代入①得m2＜3m，解得0＜m＜3. 由②得k2＝＞0，解得m＞. 综上可知，m的取值范围为. 　圆锥曲线中取值范围问题的五种常用解法 (1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围． (2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系． (3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围． (4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围． (5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围． [跟进训练] 1．设过定点M(0，2)的直线l与椭圆C1：＋y2＝1交于不同的两点P，Q，若O在以线段PQ为直径的圆的外部，求直线l的斜率k的取值范围． [解]　显然直线x＝0不满足题设条件，故可设直线l：y＝kx＋2，P(x1，y1)，Q(x2，y2). 由得(1＋4k2)x2＋16kx＋12＝0. ∵Δ＝(16k)2－4×12(1＋4k2)>0， ∴k∈∪， ∴x1＋x2＝，x1x2＝， 根据题意，得0°<∠POQ<90°，即·>0， ∴·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋2)(kx2＋2)＝(1＋k2)x1x2＋2k(x1＋x2)＋4＝＋2k·＋4＝>0，解得－2<k<2. 综上得k∈∪. 考点二　最值问题 　利用函数性质求最值 [典例2]　已知直线l：x－y＋1＝0与焦点为F的抛物线C：y2＝2px(p＞0)相切． (1)求抛物线C的方程； (2)过焦点F的直线m与抛物线C分别相交于A，B两点，求A，B两点到直线l的距离之和的最小值． [思维流程]　 [解]　(1)∵直线l：x－y＋1＝0与抛物线C：y2＝2px(p＞0)相切，联立消去x得y2－2py＋2p＝0，从而Δ＝4p2－8p＝0，解得p＝2或p＝0(舍). ∴抛物线C的方程为y2＝4x. (2)由于直线m的斜率不为0，可设直线m的方程为ty＝x－1，A(x1，y1)，B(x2，y2). 联立消去x得y2－4ty－4＝0，∵Δ＞0， ∴y1＋y2＝4t，即x1＋x2＝4t2＋2， ∴线段AB的中点M的坐标为(2t2＋1，2t). 设点A到直线l的距离为dA，点B到直线l的距离为dB，点M到直线l的距离为d， 则dA＋dB＝2d＝2·＝2|t2－t＋1|＝2，∴当t＝时，A，B两点到直线l的距离之和最小，最小值为. 　利用不等式求最值 [典例3]　已知点A(0，－2)，椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为，