第8章 第9课时 圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题(教参)-【名师导航】2024年高考数学一轮总复习(新教材新高考)人教版

第9课时　圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题 考点一　定点问题 [典例1]　(12分)(2022·全国乙卷)已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过A(0，－2)，B两点． (1)求E的方程； (2)设过点P(1，－2)的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足＝.证明：直线HN过定点． [规范解答]　(1)设椭圆E的方程为 　　　　　　　↓ 　　 因为过A(0，－2)，B两点， 则········································································2分 解得m＝，n＝， 所以椭圆E的方程为＋＝1. ····················································4分 (2)证明：因为A(0，－2)，B，所以直线AB的方程为y＝x－2. ①若过点P(1，－2)的直线斜率不存在，则直线方程为x＝1，代入＋＝1， 可得M，N，代入直线AB方程y＝x－2，可得T，由＝得到H.所以直线HN的方程为y＝x－2，过点(0，－2). ······················································6分 ②若过点P(1，－2)的直线斜率存在， 设kx－y－(k＋2)＝0，M(x1，y1)，N(x2，y2). 　　　　　　　↓ 　　 联立得(3k2＋4)x2－6k(2＋k)x＋3k(k＋4)＝0，Δ>0， 可得(ⅰ) (ⅱ) 且x1y2＋x2y1＝，(ⅲ) ··························································8分 联立可得T，H(3y1＋6－x1，y1). 可求得此时直线HN的方程为y－y2＝(x－x2)，将(0，－2)代入整理得 2(x1＋x2)－6(y1＋y2)＋x1y2＋x2y1－3y1y2－12＝0，····························10分 将(ⅰ)(ⅱ)(ⅲ)代入，得 24k＋12k2＋96＋48k－24k－48－48k＋24k2－36k2－48＝0， 　　　　　　↓ 　　 ····························································································11分 上式显然成立， 综上，可得直线HN过定点(0，－2). ·············································12分 　求解直线或曲线过定点问题的基本思路 (1)把直线或曲线方程中的变量x，y当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x，y的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点． (2)由直线方程确定其过定点时，若得到了直线方程的点斜式y－y0＝k(x－x0)，则直线必过定点(x0，y0)；若得到了直线方程的斜截式y＝kx＋m，则直线必过定点(0，m). [跟进训练] 1．(2022·江苏泰州一模)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)，四点M1，M2(3，)，M3，M4中恰有三点在C上． (1)求C的方程； (2)过点(3，0)的直线l交C于P，Q两点，过点P作直线x＝1的垂线，垂足为A.证明：直线AQ过定点． [解]　(1)因为四点M1，M2(3，)，M3，M4中恰有三点在C上，而点M3，M4关于原点对称，＜，所以点M2，M3，M4在曲线上，代入可得 解得所以C的方程为：－y2＝1. (2)证明：当直线l的斜率不存在时，得P(3，)，Q(3，－)，A(1，)， 则直线AQ方程为y＝－x＋2，过点T(2，0)； 当直线l的斜率存在时，设为y＝k(x－3)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则A(1，y1)，联立 整理得(1－3k2)x2＋18k2x－27k2－3＝0， 1－3k2≠0，x1＋x2＝－，x1x2＝－， 则kQT＝，kAT＝－y1， 所以kQT－kAT＝－(－y1)＝， 又y2＋x2y1－2y1＝k(x2－3)＋k(x2－2)(x1－3)＝k[x1x2－2(x1＋x2)＋3] ＝k＝0， 所以kQT＝kAT，即直线AQ过点T(2，0). 综上，直线AQ过定点(2，0). 考点二　定值问题 [典例2]　在平面直角坐标系Oxy中，已知椭圆C：＋y2＝1，点P(x1，y1)，Q(x2，y2)是椭圆C上两个动点，直线OP，OQ的斜率分别为k1，k2，若m＝，n＝，m·n＝0. (1)求证：k1·k2＝－； (2)试探求△OPQ的面积S