第8章 第7课时 双曲线(教参)-【名师导航】2024年高考数学一轮总复习(新教材新高考)人教版

第7课时　双曲线 [考试要求]　 1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程． 2．掌握其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)． 3．了解双曲线的简单应用． 1．双曲线的定义 把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．两个定点F1，F2叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 2．双曲线的标准方程和简单几何性质 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 图形 性质 焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c 范围 x≤－a或x≥a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) 轴 实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b，实半轴长：a，虚半轴长：b 离心率 e＝∈(1，＋∞) 渐近线 y＝±x y＝±x a，b，c的关系 c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0) 3．等轴双曲线 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为y＝±x，离心率为e＝． [常用结论] 1．双曲线－＝1(a＞0，b＞0)中的几个常用结论 (1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b． (2)若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a． (3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为，异支的弦中最短的为实轴，其长为2a． (4)设P，A，B是双曲线上的三个不同的点，其中A，B关于原点对称，直线PA，PB斜率存在且不为0，则直线PA与PB的斜率之积为． (5)P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则S△PF1F2＝，其中θ为∠F1PF2. 2．巧设双曲线方程 (1)与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)有共同渐近线的方程可表示为－＝t(t≠0). (2)过已知两个点的双曲线方程可设为mx2＋ny2＝1(mn＜0). 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线． (　　) (2)方程－＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线． (　　) (3)双曲线－＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是－＝0，即±＝0. (　　) (4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于. (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 二、教材习题衍生 1．(易错题)(人教A版选择性必修第一册P127习题3.2T1改编)已知双曲线x2－＝1上一点P到它的一个焦点的距离等于4，那么点P到另一个焦点的距离等于________． 6　[设双曲线的焦点为F1，F2，|PF1|＝4，则||PF1|－|PF2||＝2，故|PF2|＝6或2，又双曲线上的点到它的焦点的距离的最小值为c－a＝－1＞2，故|PF2|＝6.] 2．(人教A版选择性必修第一册P124例3改编)双曲线－＝－1的实轴长为________，离心率为________，渐近线方程为________． 10　　y＝±x　[双曲线－＝1中a＝5，b2＝24，c2＝25＋24＝49， ∴实轴长为2a＝10，离心率e＝＝， 渐近线方程为y＝±x.] 3．(人教A版选择性必修第一册P127习题3.2 T6改编)经过点A(4，1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程为________． －＝1　[设双曲线的方程为－＝±1(a>0)， 把点A(4，1)代入，得a2＝15(舍负)， 故所求方程为－＝1.] 4．(人教A版选择性必修第一册P121练习T3改编)若方程＋＝1表示双曲线，则m的取值范围是________． (－2，－1)　[因为方程＋＝1表示双曲线，所以(2＋m)(m＋1)＜0，即－2＜m＜－1.] 考点一　双曲线的定义及其应用 [典例1]　(1)(易错题)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为________． (2)已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos ∠F1PF2＝________． (1)x2－＝1(x≤－1)　(2)　[(1)如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和B. 根据两圆外切的条件，得|MC1|－|AC1|＝|MA|，|MC2|－|BC2|＝