第8章 第6课时 直线与椭圆(教参)-【名师导航】2024年高考数学一轮总复习(新教材新高考)人教版

第6课时　直线与椭圆 [考试要求]　 1．理解直线与椭圆的位置关系，掌握其判断方法． 2．会借助方程的思想解决直线与椭圆相交的综合问题． 1．直线与椭圆的位置判断 将直线方程与椭圆方程联立，消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，则直线与椭圆相交⇔Δ>0；直线与椭圆相切⇔Δ＝0；直线与椭圆相离⇔Δ<0. 2．弦长公式 设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝|x1－x2|＝或|AB|＝|y1－y2|＝，k为直线斜率且k≠0. [常用结论] 1．点P(x0，y0)和椭圆的位置关系 (1)点P(x0，y0)在椭圆内⇔＋＜1． (2)点P(x0，y0)在椭圆上⇔＋＝1． (3)点P(x0，y0)在椭圆外⇔＋＞1． 2．椭圆上一点处的切线方程 点P(x0，y0)在椭圆＋＝1(a＞b＞0)上，过点P的切线方程为＋＝1． 3．关于－的重要结论 (1)过原点的直线交椭圆于A，B两点，P是椭圆上异于A，B的任一点，则kPA·kPB＝－． (2)若M(x0，y0)是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的弦AB(AB不平行y轴)的中点，则有kAB·kOM＝－，即kAB＝－． 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)椭圆通径是所有的焦点弦中最短的弦． (　　) (2)过点A(0，1)的直线一定与椭圆x2＋＝1相交． (　　) (3)直线和椭圆的位置关系能用中心到直线的距离来判断． (　　) (4)过椭圆外一点一定能作两条直线与已知椭圆相切． (　　) [答案]　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√ 二、教材习题衍生 1．(人教A版选择性必修第一册P114例7改编)直线y＝x＋1与椭圆＋＝1的位置关系是(　　) A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断 A　[法一(通解)：联立直线与椭圆的方程得 消去y得9x2＋10x－15＝0， Δ＝100－4×9×(－15)＞0，所以直线与椭圆相交． 法二(优解)：直线过点(0，1)，而0＋＜1， 即点(0，1)在椭圆内部，所以直线与椭圆相交．] 2．(人教A版选择性必修第一册P114练习 T2改编)已知斜率为1的直线l过椭圆＋y2＝1的右焦点，交椭圆于A，B两点，则弦AB的长为(　　) A． B． C． D． C　[由题意得，a2＝4，b2＝1，所以c2＝3， 所以右焦点坐标为(，0)， 则直线l的方程为y＝x－， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立消y得，5x2－8x＋8＝0， Δ＝(－8)2－4×5×8＝32＞0， 则x1＋x2＝，x1·x2＝， 所以|AB|＝· ＝×＝.即弦AB的长为.] 3．(多选)(人教A版选择性必修第一册P114例7改编)若直线y＝kx＋2与椭圆＋＝1相切，则斜率k的值是(　　) A． B．－ C．－ D． AB　[由得(3k2＋2)x2＋12kx＋6＝0， 由题意知Δ＝144k2－24(3k2＋2)＝0，解得k＝±.] 4．(人教A版选择性必修第一册P116T13改编)若点P是椭圆E：＋y2＝1上的动点，则点P到直线x－y－3＝0的距离的最小值是________，此时，P的坐标为________． 　　[设直线l1：x－y＋m＝0，联立 整理得5x2＋8mx＋4m2－4＝0. 则Δ＝64m2－4×5＝0，解得m＝±. 当m＝－时，直线l与直线l1之间的距离d＝＝； 当m＝时，直线l到直线l1之间的距离d＝＝2. 所以点P到直线l的最小距离是. 此时5x2－8x＋16＝0，解得x＝， 将x＝代入x－y－＝0，得y＝－， 则点P的坐标为.] 考点一　直线与椭圆的位置关系 [典例1]　已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C： (1)有两个不重合的公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点． [解]　将直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组 将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.③ 方程③根的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144. (1)当Δ＞0，即－3＜m＜3时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个不重合的公共点． (2)当Δ＝0，即m＝±3时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点． (3)当Δ＜0，即m＜－3或m＞3时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l与椭圆C没有公共点． 　1.研究直线和椭圆的位置关系，一般转化为研究直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数． 2．对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交