第8章 第5课时 椭圆及其性质(教参)-【名师导航】2024年高考数学一轮总复习(新教材新高考)人教版

第5课时　椭圆及其性质 [考试要求]　 1．掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质 (范围、对称性、顶点、离心率)． 2．掌握椭圆的简单应用． 1．椭圆的定义 把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离|F1F2|叫做椭圆的焦距． 2．椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 图形 性质 范围 －a≤x≤a －b≤y≤b －b≤x≤b －a≤y≤a 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b，0)，B2(b，0) 轴 长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b 焦距 |F1F2|＝2c 离心率 e＝∈(0，1) a，b，c的关系 c2＝a2－b2 [常用结论] 1．椭圆的焦点三角形 椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形．如图所示，当椭圆为＋＝1(a＞b＞0)时，设∠F1PF2＝θ. (1)|PF1|·|PF2|≤＝a2. (2)当PF2⊥x轴时，点P的坐标为． (3)|PF1|＝a＋ex0，|PF2|＝a－ex0． (4)|PF1|max＝a＋c，|PF1|min＝a－c． (5)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos θ． (6)S△F1PF2＝b2tan ＝c|y0|，当|y0|＝b，即点P的位置为短轴端点时，θ最大，S取最大值，最大值为bc. 2．已知过焦点F1的弦AB，则△ABF2的周长为4a． 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆． (　　) (2)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆． (　　) (3)关于x，y的方程mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)表示的曲线是椭圆． (　　) (4)＋＝1(a>b>0)与＋＝1(a>b>0)的焦距相同． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 二、教材习题衍生 1．(人教A版选择性必修第一册P115习题3.1 T1改编)如果点M在运动过程中，总满足关系式＋＝4，则点M的轨迹是(　　) A．不存在 B．椭圆 C．线段 D．双曲线 B　[＋＝4表示平面由点M到点(0，－3)，(0，3)的距离之和为4，而3－(－3)＝6<4，所以点M的轨迹是椭圆，故选B.] 2．(人教A版选择性必修第一册P112例4改编)已知椭圆C：16x2＋4y2＝1，则下列结论正确的是(　　) A．长轴长为 B．焦距为 C．短轴长为 D．离心率为 D　[把椭圆方程16x2＋4y2＝1化为标准方程可得＋＝1，所以a＝，b＝，c＝， 则长轴长2a＝1，焦距2c＝，短轴长2b＝，离心率e＝＝，故选D.] 3．(人教A版选择性必修第一册P109练习T3改编)椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆C于A，B两点，则△AF1B的周长为________． 20　[△AF1B的周长为4a＝4×5＝20.] 4．(人教A版选择性必修第一册P112练习T4改编)已知椭圆的中心在坐标原点，长轴长是8，离心率是，则此椭圆的标准方程是________． ＋＝1或＋＝1　[因为a＝4，e＝，所以c＝3，所以b2＝a2－c2＝16－9＝7.因为焦点的位置不确定，所以椭圆的标准方程是＋＝1或＋＝1.] 考点一　椭圆的定义及应用 [典例1]　(1)已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为(　　) A．－＝1 B．＋＝1 C．－＝1 D．＋＝1 (2)(多选)已知P是椭圆＋＝1上一点，椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，且cos ∠F1PF2＝，则(　　) A．△PF1F2的周长为12 B．S△PF1F2＝2 C．点P到x轴的距离为 D．PF1·PF2＝2 (3)已知F是椭圆5x2＋9y2＝45的左焦点，P是椭圆上的动点，A(1，1)，则|PA|＋|PF|的最大值为________，最小值为________． (1)D　(2)BCD　(3)6＋　6－　[(1)设圆M的半径为r，则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16>8＝|C1C2|，所以M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，且 2a＝16，2c＝8，故所求的轨迹方程为＋＝1. (2)由椭圆方程知a＝3，b＝2，所以c＝，所以|PF