第8章 第3课时 圆的方程(教参)-【名师导航】2024年高考数学一轮总复习(新教材新高考)人教版

第3课时　圆的方程 [考试要求]　 1．理解确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，掌握圆的标准方程与一般方程． 2．能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题． 1．圆的定义及方程 定义 平面内到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹) 标准方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0) 圆心(a，b)，半径r 一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0) 圆心， 半径 提醒：当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示一个点；当D2＋E2－4F＜0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0没有意义，不表示任何图形． 2．点与圆的位置关系 点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系： (1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2． (2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2． (3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2． [常用结论] 1．圆的三个性质 (1)圆心在过切点且垂直于切线的直线上； (2)圆心在任一弦的中垂线上； (3)两圆相切时，切点与两圆心三点共线． 2．以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0． 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)确定圆的几何要素是圆心与半径． (　　) (2)方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(t∈R)表示圆心为(a，b)，半径为t的一个圆． (　　) (3)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0. (　　) (4)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x＋y＋Dx0＋Ey0＋F＞0. (　　) [答案]　(1)√　(2)×　(3)√　(4)√ 二、教材习题衍生 1．(人教A版选择性必修第一册P88练习T1改编)圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标和半径分别是(　　) A．(2，3)，3 B．(－2，3)， C．(－2，－3)，13 D．(2，－3)， D　[圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝13，所以圆心坐标是(2，－3)，半径r＝.] 2．(人教A版选择性必修第一册P85练习T3改编)已知点A(1，－1)，B(－1，1)，则以线段AB为直径的圆的方程是(　　) A．x2＋y2＝2 B．x2＋y2＝ C．x2＋y2＝1 D．x2＋y2＝4 A　[法一：AB的中点坐标为(0，0)， |AB|＝＝2，所以圆的方程为x2＋y2＝2. 法二：(应用常用结论)以AB为直径的圆的方程为(x－1)·(x＋1)＋(y＋1)(y－1)＝0，即x2＋y2＝2.] 3．(人教A版选择性必修第一册P84例3改编)过点A(1，－1)，B(－1，1)，且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是(　　) A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4 B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4 C．(x－1)2＋(y－1)2＝4 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4 C　[法一：设圆心C的坐标为(a，b)，半径为r.因为圆心C在直线x＋y－2＝0上，所以b＝2－a.又|CA|2＝|CB|2，所以(a－1)2＋(2－a＋1)2＝(a＋1)2＋(2－a－1)2，所以a＝1，b＝1.所以r＝2.所以方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4. 法二：由已知条件得AB垂直平分线方程l1：y＝x， 由解得 ∴圆心坐标为(1，1)， ∴r2＝(1－1)2＋[1－(－1)]2＝4， ∴圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.故选C.] 4．(人教A版选择性必修第一册P86例4改编)在平面直角坐标系中，经过三点(0，0)，(1，1)，(2，0)的圆的方程为________． x2＋y2－2x＝0　[设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.∵圆经过点(0，0)，(1，1)，(2，0)， ∴ 解得 ∴圆的方程为x2＋y2－2x＝0.] 考点一　圆的方程 [典例1]　(1)(2022·全国乙卷)过四点(0，0)，(4，0)，(－1，1)，(4，2)中的三点的一个圆的方程为________． (2)(2022·全国甲卷)设点M在直线2x＋y－1＝0上，点(3，0)和(0，1)均在⊙M上，则⊙M的方程为________． (1)＋＝13或＋＝5或＋＝或＋＝(从这四个方程中任选一个作答即可)　(2)(x－1)2＋(y＋1)2＝5　[(1)依题意，设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 若圆过点，，， 则 解得易得D2＋E2－4F＞0， 所以过这三点的圆的方程为x2＋y2－4x－6y＝0