第8章 第1课时 直线的方程(教参)-【名师导航】2024年高考数学一轮总复习(新教材新高考)人教版

【教师备选资源】 新高考卷三年考情图解 高考命题规律把握 1.考查形式 在高考中一般考查2道小题与1道解答题，分值占22分． 2．考查内容 (1)对直线方程、圆及圆锥曲线的概念和性质的考查一般以选择题或填空题为主，重在考查学生的双基． (2)对直线与圆锥曲线的位置关系的考查，常以定点问题、最值问题及探索性问题为载体，重在考查等价转化思想、方程思想及数学运算能力． 第1课时　直线的方程 [考试要求]　 1．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式． 2．根据确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式及一般式)． 1．直线的方向向量 (1)设A，B为直线上的两点，则就是这条直线的方向向量． (2)若直线l的斜率为k，则直线l的一个方向向量为(1，k). 2．直线的倾斜角 (1)定义：当直线l与x轴相交时，以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角． (2)范围：直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°． 3．直线的斜率 (1)定义：把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k表示，即k＝tan_α(α≠90°). (2)过两点的直线的斜率公式 如果直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，其斜率k＝． 4．直线方程的五种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 y－y0＝k(x－x0) 不含直线x＝x0 斜截式 y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线 两点式 ＝ (x1≠x2，y1≠y2) 不含直线x＝x1 和直线y＝y1 截距式 ＋＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0) 平面直角坐标系内的直线都适用 提醒：“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正、可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数． [常用结论] 1．直线的斜率k和倾斜角α之间的函数关系 如图，当α∈时，斜率k∈[0，＋∞)；当α＝时，斜率不存在；当α∈时，斜率k∈(－∞，0)． 2．几种特殊位置的直线方程 (1)直线过点P1(x1，y1)，垂直于x轴的方程为x＝x1； (2)直线过点P1(x1，y1)，垂直于y轴的方程为y＝y1； (3)y轴的方程为x＝0； (4)x轴的方程为y＝0． 3．直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的一个法向量v＝(A，B)，一个方向向量n＝(－B，A). 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α. (　　) (2)直线的倾斜角越大，其斜率就越大． (　　) (3)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)·(y2－y1)表示． (　　) (4)直线y＝10的一个方向向量是(1，0). (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 二、教材习题衍生 1．(人教A版选择性必修第一册P55练习T5改编)过A(4，y)，B(2，－3)两点的直线的一个方向向量为 (－1，－1)，则y＝(　　) A．－　 B．　　 C．－1　 D．1 C　[法一：由直线上的两点A(4，y)，B(2，－3)，得＝(－2，－3－y)，又直线AB的一个方向向量为 (－1，－1)，因此(－2)×(－1)－(－3－y)×(－1)＝0，解得y＝－1，故选C. 法二：由直线的方向向量为(－1，－1)得，直线的斜率为＝1，所以＝1，解得y＝－1.故选C.] 2．(人教A版选择性必修第一册P67习题2.2 T10改编)如果AC<0，且BC<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不经过(　　) A．第一象限　　 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 C　[由已知得直线Ax＋By＋C＝0在x轴上的截距－>0，在y轴上的截距－>0，故直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限．] 3．(人教A版选择性必修第一册P67习题2.2 T2改编)已知A(3，5)，B(4，7)，C(－1，x)三点共线，则x＝________. －3　[因为A，B，C三点共线， 所以kAB＝kAC，所以＝，所以x＝－3.] 4．(人教A版选择性必修第一册P67习题2.2 T7改编)经过点P(1，9)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为__________________. 9x－y＝0或x＋y－10＝0　[当纵、横截距为0时，直线方程为9x－y＝0； 当截距不为0时，设直线方程为＋＝1，则＋＝1，解得a＝10，直线方程为x＋y－10＝0.] 考点一　直线的倾斜角与斜率 [典例1]　(1)如图，在矩形ABCD中，BC＝AB，直线AC的斜率为，则直线BC的斜