第6章 第4课时 数列求和(教参)-【名师导航】2024年高考数学一轮总复习(新教材新高考)人教版

第4课时　数列求和 [考试要求]　 1．熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式． 2．掌握数列求和的常用方法． 1．公式法 (1)等差数列的前n项和公式： Sn＝＝na1＋d. (2)等比数列的前n项和公式： Sn＝ 2．几种数列求和的常用方法 (1)分组求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减． (2)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消(注意消项规律)，从而求得前n项和．裂项时常用的三种变形： ①＝－； ②＝； ③＝－. (3)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n项和即可用错位相减法求解． (4)倒序相加法：如果一个数列{an}与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解． (5)并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf (n)类型，可采用两项合并求解． 例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12 ＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050. [常用结论] (1)k＝1＋2＋3＋…＋n＝ ； (2) (2k－1)＝1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2； (3)k3＝13＋23＋…＋n3＝； (4)k2＝12＋22＋32＋…＋n2＝n(n＋1)(2n＋1). 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)已知各项均不为零的等差数列{an}的公差为d(d≠0)，则有＝. (　　) (2)当n≥2时，＝. (　　) (3)求Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan之和时，只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求得． (　　) (4)利用倒序相加法可求得sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin288°＋sin289°＝44.5. (　　) [答案]　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√ 二、教材习题衍生 1．(人教A版选择性必修第二册P51练习T2改编)数列{an}的前n项和为Sn，若an＝，则S5等于(　　) A．1 B． C． D． B　[∵an＝＝－，∴S5＝a1＋a2＋…＋a5＝1－＋－＋…＋－＝.] 2．(人教A版选择性必修第二册P51练习T1改编)数列{an}的通项公式an＝(－1)n(2n－1)，则该数列的前100项和为(　　) A．－200 B．－100 C．200 D．100 D　[S100＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋…＋(－197＋199)＝2×50＝100.] 3．(人教A版选择性必修第二册P40习题4.3T3改编)若数列{an}的通项公式an＝2n＋2n－1，则数列{an}的前n项和为(　　) A．2n＋n2－1 B．2n＋1＋n2－1 C．2n＋1＋n2－2 D．2n＋n－2 C　[Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an ＝(21＋2×1－1)＋(22＋2×2－1)＋(23＋2×3－1)＋…＋(2n＋2n－1)＝(2＋22＋…＋2n)＋2(1＋2＋3＋…＋n)－n＝＋2×－n ＝2(2n－1)＋n2＋n－n＝2n＋1＋n2－2.] 4．(人教A版选择性必修第二册P40习题4.3T3(2)改编)1＋2a＋3a2＋…＋nan－1＝________． [记Sn＝1＋2a＋3a2＋…＋nan－1， 当a＝1时，Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)； 当a≠1时，aSn＝a＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＋nan， (1－a)Sn＝1＋a＋a2＋a3＋…＋an－1－nan. 所以Sn＝－(a≠1)， 原式＝] 考点一　分组求和与并项求和 　分组求和 [典例1]　(2022·淄博一模)已知数列满足：a1＝1，且an＋1＝(n∈N*).设bn＝a2n－1. (1)证明：数列为等比数列，并求的通项公式； (2)求数列的前2n项和． [解]　(1)证明：由题意可知：b1＝a1＝1， bn＋1＝a2n＋1＝2a2n＝2(a2n－1＋1)＝2a2n－1＋2＝2bn＋2， 故bn＋1＋2＝2(bn＋2)，即＝2， 故是以b1＋2＝3为首项，以q＝2 为公比的等比数列，且bn＋2＝3·2n－1，n∈N*， 故bn＝3·2n－1－2，n∈N*. (2)由(1)知，bn＝3·2n－1－2，n∈N*，即a2n－1＝3·2n－1－2，n∈N*， 由an＋1＝ ， 故a2n＝a2n－1＋1，n∈N*， 故数列的前2n项和 S2n＝(a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1)＋(a2＋a4＋a6＋…＋a2n) ＝2(a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1)＋n ＝2[3(