第6章 第3课时 等比数列(教参)-【名师导航】2024年高考数学一轮总复习(新教材新高考)人教版

第3课时　等比数列 [考试要求]　 1．理解等比数列的概念． 2．掌握等比数列的通项公式与前n项和公式． 3．了解等比数列与指数函数的关系． 1．等比数列的有关概念 (1)定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为＝q(n∈N*，q为非零常数). (2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2＝ab. 提醒： “G2＝ab”是“a，G，b成等比数列”的必要不充分条件． 2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：an＝a1qn－1＝amqn－m. (2)前n项和公式： Sn＝ 提醒：求等比数列前n项和时，若公比q不明确，需分类讨论． 3．等比数列的性质 (1)在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则am·an＝ap·aq＝a. (2)若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，，{a}，{an·bn}，仍然是等比数列． (3)等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn，q＝－1且n为偶数时除外． [常用结论] 1．等比数列的单调性 当q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0时，{an}是递增数列； 当q＞1，a1＜0或0＜q＜1，a1＞0时，{an}是递减数列； 当q＝1时，{an}是常数列． 2．等比数列{an}的前n项和Sn＝A＋B·Cn⇔A＋B＝0，公比q＝C(A，B，C均不为零). 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)等比数列{an}的公比q>1，则该数列单调递增． (　　) (2)满足an＋1＝qan(n∈N*，q为常数)的数列{an}为等比数列． (　　) (3)如果正项数列{an}为等比数列，则数列{ln an}是等差数列． (　　) (4)数列{an}的通项公式是an＝an，则其前n项和为Sn＝. (　　) (5)数列{an}为等比数列，则S4，S8－S4，S12－S8成等比数列． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)× 二、教材习题衍生 1．(易错题)(人教A版选择性必修第二册P31练习T2改编)在等比数列{an}中，a3＝2，a7＝8，则a5等于(　　) A．5　 B．±5　　 C．4　 D．±4 C　[∵a＝a3a7＝2×8＝16，∴a5＝±4. 又∵a5＝a3q2＞0，∴a5＝4.] 2．(人教A版选择性必修第二册P37练习T1(3)改编)在等比数列{an}中，a3＝，S3＝，则a2的值为(　　) A． B．－3 C．－ D．－3或 D　[由S3＝a1＋a2＋a3＝a3(q－2＋q－1＋1)，得 q－2＋q－1＋1＝3，即2q2－q－1＝0， 解得q＝1或q＝－. ∴a2＝＝或－3.故选D.] 3．(人教A版选择性必修第二册P37练习T4改编)已知三个数成等比数列，若它们的和等于13，积等于27，则这三个数为________． 1，3，9或9，3，1　[设这三个数为，a，aq，则解得或 ∴这三个数为1，3，9或9，3，1.] 4．(人教A版选择性必修第二册P40练习T1改编)一个球从256米的高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半，当它第6次着地时，共经过的路程是________米． 752　[设小球每次着地后跳回的高度构成数列{an}，则数列{an}为等比数列， a1＝128，q＝， S5＝＝248， 共经过的路程为256＋2S5＝752(米).] 考点一　等比数列基本量的运算 [典例1]　(1)(2022·全国乙卷)已知等比数列的前3项和为168，a2－a5＝42，则a6＝(　　) A．14　 B．12　　 C．6　 D．3 (2)(2020·全国Ⅱ卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和，若a5－a3＝12，a6－a4＝24，则＝(　　) A．2n－1 B．2－21－n C．2－2n－1 D．21－n－1 (1)D　(2)B　[(1)设等比数列的公比为q，q≠0， 若q＝1，则a2－a5＝0，与题意矛盾，所以q≠1， 则解得 所以a6＝a1q5＝3. 故选D. (2)法一：设等比数列{an}的公比为q，则由 解得 所以Sn＝＝2n－1，an＝a1qn－1＝2n－1，所以＝＝2－21－n，故选B. 法二：设等比数列{an}的公比为q，因为＝＝＝＝2，所以q＝2，所以＝＝＝2－21－n，故选B.] 【教师备选题】 18世纪德国数学家提丢斯给出一串数列：0，3，6，12，24，48，96，192，…，容易发现，从第