第6章 第1课时 数列的概念与简单表示法(教参)-【名师导航】2024年高考数学一轮总复习(新教材新高考)人教版

【教师备选资源】 新高考卷三年考情图解 高考命题规律把握 1.考查形式 本章在高考中一般考查1道小题和1道解答题，分值占10～15分． 2.考查内容 (1)小题一般以等差、等比数列基本量的运算为主． (2)解答题一般以数列递推关系为载体，考查数列通项公式的求法，等差、等比数列的证明，数列求和的方法等． 第1课时　数列的概念与简单表示法 [考试要求]　 1．了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)． 2．了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数． 1．数列的定义 一般地，把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项． 2．数列的分类 分类标准 类型 满足条件 按项数分类 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 按项与项间的大小关系分类 递增数列 an＋1＞an 其中n∈N* 递减数列 an＋1＜an 常数列 an＋1＝an 按其他标准分类 有界数列 存在正数M，使|an|≤M 摆动数列 从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项 周期数列 对n∈N*，存在正整数k，使an＋k＝an 3．数列的表示法 数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析式法． (1)通项公式：如果数列{an}的第n项 an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式． (2)数列的递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式． 4．数列的前n项和 (1)表示：在数列{an}中，Sn＝a1＋a2＋…＋an叫做数列的前n项和． (2)an与Sn的关系：若数列{an}的前n项和为Sn，则an＝ 提醒：若a1满足an＝Sn－Sn－1(n≥2)，则不需要分段． [常用结论] 在数列{an}中，若an最大，则 若an最小，则 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)数列1，0，－1，－2与数列－2，－1，0，1是相同数列． (　　) (2)数列0，2，4，6，8，…可记作{2n}． (　　) (3)任何一个数列都有唯一的通项公式． (　　) (4)如果数列{an}的前n项和为Sn，则对任意n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn. (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 二、教材习题衍生 1．(人教A版选择性必修第二册P5例2改编)数列－1，，－，，－，…的一个通项公式为(　　) A．an＝± B．an＝(－1)n· C．an＝(－1)n＋1· D．an＝ B　[由a1＝－1，代入检验可知选B.] 2．(人教A版选择性必修第二册P8练习T3改编)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝1＋，则a5＝(　　) A．2　　　 B．　　　 C．　　　 D． D　[由题意得，令n＝1，可得a2＝1＋＝2； 令n＝2，可得a3＝1＋＝1＋＝； 令n＝3，可得a4＝1＋＝1＋＝； 令n＝4，可得a5＝1＋＝1＋＝. 故选D.] 3．(人教A版选择性必修第二册P8练习T4改编)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1，则an＝________． 　[当n＝1时，a1＝S1＝2. 当n≥2时， an＝Sn－Sn－1＝n2＋1－[(n－1)2＋1]＝2n－1. 显然当n＝1时，不满足上式， 故an＝] 4．(人教A版选择性必修第二册P8练习T1改编)下列从左到右排列的图形中，小正方形个数构成的数列的一个通项公式为an＝________． n2　[由题图可知，从中间一行向上、向下每经过一行，小正方形数量减少1个，直至减少到1，所以an＝n＋2(n－1)＋2(n－2)＋…＋2×1， 所以an＝n＋2·＝n2.] 考点一　由an与Sn的关系求通项公式 [典例1]　(1)已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，则an＝________． (2)已知数列{an}满足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n，则an＝________． (1)4n－5　(2)　[(1)a1＝S1＝2－3＝－1， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，由于a1也适合此等式，∴an＝4n－5. (2)当n＝1时， a1＝21＝2，∵a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n，① 故a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝2n－1(n≥2，n∈N*)，② 由①－②得nan＝2n－2n－1＝2n－1，∴an＝(n≥2，n∈N*). 显然当n＝1时不满足上式，∴an＝] 【教师备选题】 (1)已知数列{an}的前n项和为Sn，满足log2(Sn＋1)＝n＋1