第5章 高考研究在线5 平面向量与三角形“四心”的交汇问题(教参)-【名师导航】2024年高考数学一轮总复习(新教材新高考)人教版

三角形的“四心”在人教A版教材中出现了两次：一是教材人教A版必修第二册P52T2，二是人教A版必修第二册教材P63数学探究——用向量法研究三角形的性质．以上两点足以展现了三角形的“四心”在新教材中的地位．随着新高考改革的推进，以三角形的“四心”为背景，考查向量的数量积与线性运算的题目越来越多，熟知相应题型，有效地针对训练势在必行． 命题点一　“四心”的判断 [典例1]　若三个不共线的向量，，满足·＝·＝·＝0，则点O为△ABC的(　　) A．内心 B．外心　 C．重心 D．垂心 A　[由题意知与＋＝(E在∠BAC的邻补角的平分线上)垂直，所以点O在∠BAC的平分线上．同理，点O在∠ABC的平分线上，故点O为△ABC的内心．] 　三角形的“四心”： 设O为△ABC所在平面上一点，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则 (1)O为△ABC的外心⇔||＝||＝||＝. (2)O为△ABC的重心⇔＋＋＝0. (3)O为△ABC的垂心⇔·＝·＝·. (4)O为△ABC的内心⇔a＋b＋c＝0. [跟进训练] 1．已知O是三角形ABC所在平面内一定点，动点P满足＝＋λ，λ∈R.则P点的轨迹一定通过三角形ABC的(　　) A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 C　[由正弦定理可知：＝＝2R，R为三角形的外接圆的半径，所以动点P满足 ＝＋λ＝＋2λR(＋). 因为＋是以AB，AC为邻边的平行四边形的对角线A为起点的向量，经过BC的中点，所以P点的轨迹一定通过三角形ABC的重心．故选C.] 命题点二　与“四心”有关的计算 　外心 [典例2]　在△ABC中，AB＝2，BC＝，AC＝3.若O是△ABC的外心，且＝p＋q，则p＝________，q＝________． 　　[∵＝－，∴CB2＝(－)2，即CB2＝AB2＋AC2－2·， ∴10＝4＋9－2·，∴·＝. 如图，设AB的中点为D，AC的中点为E， ∵＝p＋q， ∴ ∵·＝AB·AO·cos ∠BAO＝AB·AD＝2，·＝AO·AC·cos ∠CAO＝AC·AE＝， ∴ ，解得p＝，q＝.] 　重心 [典例3]　已知△ABC的重心为O，且AB＝4，BC＝6，AC＝8，则·＝(　　) A．－ B． C． D．16 B　[设D为边AC的中点，如图所示， 则＝(＋). 根据重心的性质可得 ＝＝× (＋)＝(＋)，则 ·＝(＋)·＝(＋)·(＋)＝(2－2)＝(36－16)＝. 故选B.] 　垂心 [典例4]　已知H为△ABC的垂心，AB＝4，AC＝6，M为边BC的中点，则·＝(　　) A．20 B．10 C．－20 D．－10 B　[如图， ∵H为△ABC的垂心， ∴⊥， ∴·＝0，且AB＝4，AC＝6，M为边BC的中点， ∴·＝(＋＋)·＝·＝·＋· ＝(＋)·(－)＝(2－2) ＝×(36－16)＝10. 故选B.] 　内心 [典例5]　在△ABC中，若||＝2，||＝3，||＝4，O为△ABC的内心，且＝λ＋μ，则λ＋μ＝(　　) A． B． C． D． C　[∵O为△ABC的内心， ∴O为△ABC内角平分线的交点， 令|AB|＝c，|AC|＝b，|BC|＝a， 则有a＋b＋c＝0， ∴a＋b(＋)＋c(＋＋)＝0， ∴(a＋b＋c)＝(b＋c)＋c， ∴＝＋， ∴λ＋μ＝＋＝＝. 故选C.] 　求解此类问题的关键是结合三角形的特点、运用“四心”的向量表达式及其相关性质． [跟进训练] 2．(1)已知相异两点O，H分别为△ABC的外心与垂心，且＝m·(＋＋)，则实数m＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．不确定 (2)在△ABC中，AB＝5，AC＝6，cos A＝，O是△ABC的内心，若＝x＋y，其中x，y∈[0，1]，则动点P的轨迹所覆盖图形的面积为(　　) A． B． C．4 D．6 (3)在△ABC中，O为其外心，·＝，且＋＋＝0，则边AC的长是________． (1)A　(2)B　(3)－1　[(1)如图所示， ∵＝－，＝m·(＋＋)， ∴－＝m(＋＋)， ∴＝(m－1)＋m(＋)， 取BC边的中点D，连接OD，则OD⊥BC， ∴＋＝2，·＝0. 又AH⊥BC, ∴·＝0. ∴·＝(m－1)·＋2m·， ∴0＝(m－1)·，又·不恒为0， ∴必有m－1＝0，解得m＝1.故选A. (2)根据向量加法的平行四边形法则可知，动点P的轨迹是以OB，OC为邻边的平行四边形及其内部，其面积为△BOC的面积的2倍． 在△ABC中，设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A，得a＝7. 设△ABC的内切圆的半径为r，则 bc sin A＝(a＋b＋c)r