第5章 高考培优6 极化恒等式的应用(教参)-【名师导航】2024年高考数学一轮总复习(新教材新高考)人教版

　极化恒等式的应用 设a，b为两个平面向量，则a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2].如图所示． (1)在平行四边形ABDC中，＝a，＝b， 则a·b＝(||2－||2). (2)在△ABC中，＝a，＝b，AM为中线，则a·b＝||2－||2. 题型一　求数量积 [典例1]　(1)设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b等于(　　) A．1　　　 B．2　　　 C．3　　　 D．5 (2)如图，在三角形ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，·＝4，·＝－1，则·的值为________． (1)A　(2)　[(1)因为a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2]＝×(10－6)＝1，所以a·b＝1. (2)设＝a，＝b，·＝||2－||2＝9b2－a2＝4，·＝||2－||2＝b2－a2＝－1，解得b2＝，a2＝， ∴·＝||2－||2＝4b2－a2＝.] 　向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线长”与“差对角线长”平方差的. [跟进训练] 1．在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，＝3，·＝2 ，则·的值是________． 22　[取AB的中点E，则·＝2－2＝2，所以2＝18，因为＝3，||＝8 ， 所以||＝2，||＝4，延长AD，EP交于点F， 故DP为△FAE的中位线， 所以2＝＝40， 即·＝2·＝·＝AP2－PE2＝22.] 题型二　求数量积的最值(范围) [典例2]　已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则·(＋)的最小值是(　　) A．－2 B．－ C．－ D．－1 B　[法一(极化恒等式)：结合题意画出图形，如图①所示，设BC的中点为D，AD的中点为E，连接AD，PE，PD，则有＋＝2， 图① 则·(＋)＝2·＝2(＋)·(－)＝2(2－2).而2＝＝，当点P与点E重合时，2有最小值0，故此时·(＋)取得最小值，最小值为－22＝－2×＝－. 图② 法二(坐标法)：如图②，以等边三角形ABC的底边BC所在直线为x轴，以边BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则A(0，)，B(－1，0)，C(1，0)，设P(x，y)，则＝(－x，－y)，＝(－1－x，－y)，＝(1－x，－y)，所以·(＋)＝(－x，－y)·(－2x，－2y)＝2x2＋2－，当x＝0，y＝时，·(＋)取得最小值，最小值为－.故选B.] 　平面向量中有关最值、范围问题的2种解题思路 (1)形化：利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断． (2)数化：利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决． [跟进训练] 2．(1)(2022·北京高考)在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°.P为△ABC所在平面内的动点，且PC＝1，则·的取值范围是(　　) A．[－5，3] B．[－3，5] C．[－6，4] D．[－4，6] (2)在半径为1的扇形AOB中，若∠AOB＝60°，C为弧AB上的动点，AB与OC交于点P，则·的最小值是________． (1)D　(2)－　[(1)建立如图所示坐标系，由题易知，C(0，0)，A(3，0)，B(0，4)，∵PC＝1， ∴设P(cos θ，sin θ)，θ∈[0，2π]， ·＝(3－cos θ，－sin θ)·(－cos θ，4－sin θ)＝－3cos θ－4sin θ＋cos2θ＋sin2θ＝1－5sin(θ＋φ)∈[－4，6]，其中sin φ＝，cos φ＝，故选D. (2)法一(极化恒等式)：如图①，取OB的中点D，连接PD，则·＝PD2－OD2＝PD2－，即求PD的最小值． 图① 由图可知，当PD⊥AB时，PDmin＝， 则·的最小值是－. 法二(坐标法)：以OB所在的直线为x轴，过点A且垂直于OB的直线为y轴，建立如图②所示的平面直角坐标系， 图② 则A，O， B，可得直线AB的方程为2x＋y＝1， 设P， 则＝，＝， 所以·＝4x2－3x＋＝4－， 当x＝时，·取得最小值－.] 2 学科网（北京）股份有限公司 $