第5章 第4课时 复数(教参)-【名师导航】2024年高考数学一轮总复习(新教材新高考)人教版

第4课时　复数 [考试要求]　 1．通过方程的解，认识复数． 2．理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义． 3．掌握复数的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义． 1．复数的有关概念 (1)复数的定义 形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i是虚数单位，实部是a，虚部是b． (2)复数的分类 (3)复数相等 a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R). (4)共轭复数 a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R). (5)复数的模 向量的模叫做复数z＝a＋bi的模或绝对值，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝(a，b∈R). 2．复数的几何意义 复数z＝a＋bi与复平面内的点Z(a，b)及平面向量＝(a，b)(a，b∈R)是一一对应关系． 3．复数的运算 (1)复数的加、减、乘、除运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 ①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i； ②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i； ③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； ④除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0). (2)几何意义：如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即＝OZ1＋OZ2，Z1Z2＝OZ2－OZ1． [常用结论] 1．(1±i)2＝±2i；＝i；＝－i． 2．i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*). 3．z·＝|z|2＝||2，|z1·z2|＝|z1|·|z2|，＝，|zn|＝|z|n． 4．复数z的方程在复平面上表示的图形 (1)a≤|z|≤b表示以原点O为圆心，以a和b为半径的两圆所夹的圆环； (2)|z－(a＋bi)|＝r(r>0)表示以(a，b)为圆心，r为半径的圆． 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若a∈C，则a2≥0. (　　) (2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小． (　　) (3)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的虚部为bi. (　　) (4)方程x2＋x＋1＝0没有解． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 二、教材习题衍生 1．(人教A版必修第二册P69例1改编)若复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，则实数x的值为(　　) A．－1 B．0 C．1 D．－1或1 A　[因为z为纯虚数，所以所以x＝－1.] 2．(人教A版必修第二册P80习题7.2T2改编)在复平面内，向量对应的复数是2＋i，向量对应的复数是－1－3i，则向量对应的复数是(　　) A．1－2i B．－1＋2i C．3＋4i D．－3－4i D　[＝＋＝－1－3i＋(－2－i)＝－3－4i.] 3．(人教A版必修第二册P95 T7改编)若复数z满足方程i＝1－i，则复数z对应点的坐标在第________象限． 二　[由题意可得＝＝＝－i(1－i)＝－1－i，所以z＝－1＋i.故复数z对应点的坐标在第二象限．] 4．(人教A版必修第二册P73练习T2改编)如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，，则|z1·z2|＝________． 5　[z1＝－2＋i，z2＝1＋2i， z1·z2＝(－2＋i)(1＋2i)＝－4－3i.所以|z1·z2|＝5.] 考点一　复数的有关概念 [典例1]　(1)(多选)若复数z＝，其中i为虚数单位，则下列结论正确的是(　　) A．z的虚部为－1 B．|z|＝ C．z2为纯虚数 D．z的共轭复数为－1－i (2)(多选)下列结论正确的是(　　) A．若复数z满足z＋＝0，则z为纯虚数 B．若复数z满足∈R，则z∈R C．若复数z满足z2≥0，则z∈R D．若复数z1，z2满足 z＋z＝0，则z1＝z2＝0 (1)ABC　(2)BC　[(1)z＝＝＝1－i，对于A，z的虚部为－1，正确； 对于B，模长|z|＝，正确； 对于C，因为z2＝(1－i)2＝－2i，故z2为纯虚数，正确； 对于D，z的共轭复数为1＋i，错误．故选ABC. (2)对于A选项，设复数z＝0，z＋＝0，z不为纯虚数，故A选项错误；对于B选项，设复数z＝a＋bi，则＝＝∈R，所以b＝0，即z∈R，故B选项正确； 对于C选项，设复数z＝a＋bi，则z2＝＝a2－b2＋2abi≥0，所以ab＝0且a2－b2≥0，所以b＝0，即z∈R，故C选项正确； 对于D选项，设复数z1＝1，z2＝i，满足z＋z＝0，但z1＝z2＝0不成立，故D选项错误． 故选BC.] 　解决复数概念问题的方法及注意事项 (1)复