第5章 第3课时 平面向量的数量积及其应用(教参)-【名师导航】2024年高考数学一轮总复习(新教材新高考)人教版

第3课时　平面向量的数量积及其应用 [考试要求]　 1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义． 2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系． 3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算． 4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系． 5．会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题． 1．向量的夹角 已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作a，＝b，则∠AOB＝θ就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是[0，π]． 当θ＝时，a与b相互垂直，记作a⊥b； 当θ＝0时，a与b共线且同向； 当θ＝π时，a与b共线且反向． 2．平面向量的数量积 定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos_θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ. 规定：0·a＝0． 3．投影向量 设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，＝a，＝b，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到A1B1，我们称上述变换为向量a向向量b投影，A1B1叫做向量a在向量b上的投影向量，记为|a|cos_θ_e． 提醒：设a，b是非零向量，它们的夹角为θ，则a在b上的投影向量为|a|cos θ＝. 4．向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a. (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb). (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 5．平面向量数量积的性质及其坐标表示 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角． (1)数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2． (2)模：|a|＝＝． (3)夹角：cos θ＝＝． (4)两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0． (5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤·. 6．平面几何中的向量方法 (1)用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系； (3)把运算结果“翻译”成几何关系． [常用结论] 1．平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2； (2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2； (3)a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2](该式又称作极化恒等式). 2．有关向量夹角的两个结论 两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b＞0且a，b不共线； 两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b＜0且a，b不共线． 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个向量的夹角的范围是. (　　) (2)两个向量的数量积是一个实数，向量的数乘运算的运算结果是向量． (　　) (3)由a·b＝0可得a＝0或b＝0. (　　) (4)(a·b)c＝a(b·c). (　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 二、教材习题衍生 1．(人教A版必修第二册P36练习T1改编)已知a＝(3，4)，b＝(5，12)，则a与b夹角的余弦值为(　　) A．　　 B．　　 C．　　 D． A　[|a|＝＝5，|b|＝＝13. a·b＝3×5＋4×12＝63. 设a与b的夹角为θ，所以cos θ＝＝.] 2．(人教A版必修第二册P20练习T3改编)若a·b＝－6，|a|＝8，与a方向相同的单位向量为e，则向量b在向量a上的投影向量为________. －e　[向量b在向量a上的投影向量为·e＝－e.] 3．(人教A版必修第二册P23习题6.2T11改编)已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________． 2　[a·b＝|a||b|cos 60°＝1，|a＋2b|＝＝＝2.] 4．(人教A版必修第二册P24习题6.2T24改编)如图，在⊙C中，弦AB的长度为4，则·＝________． 8　[取AB的中点M，连接CM(图略)，则CM⊥AB，＝.所以·＝||||· cos∠BAC＝||||＝||2＝8.] 考点一　平面向量数量积的运算 [典例1]　(1)设向量e1＝，e2＝.若a＝－2e1＋7e2，b＝4e1＋3e2，则a·b＝________，向量a在向量b上的投影向量为________． (2)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则·的值为________，·的最大值为________． [四字解题] 读 想 算 思 正方形ABCD且E是AB边上的动点； 求·，·的最大值 数量积的求解方法 投影法 数量积的几何意义 数形结合 基向量法 数量积的运算 三角形法则 坐标法 建系，求相关点的坐标