第4章 高考研究在线4 三角函数中的“结构不良”试题(教参)-【名师导航】2024年高考数学一轮总复习(新教材新高考)人教版

所谓“结构不良”即指构成问题的目标、条件和解决问题的方法三者存在某种不确定性，因而也常常没有唯一、标准的答案，并且问题的解决要与多个知识领域相联系. 该类试题在考试中通常是以选择条件，补充结论型试题出现，可能缺少解决问题的必要条件或者某个条件存在变数，其结论也是多样化的，甚至在某些特定条件下问题是无解的．“结构不良”试题具有很好的开放性，可以考查学生的数学理解能力、数学探究能力、建模能力，培养良好的心理素质． 命题点一　结论开放型 [典例1]　(多选)(2022·新高考Ⅱ卷)已知函数f (x)＝sin (2x＋φ)(0<φ<π)的图象关于点对称，则(　　) A．f (x)在单调递减 B．f (x)在有两个极值点 C．直线x＝是曲线y＝f (x)的一条对称轴 D．直线y＝－x是曲线y＝f (x)的一条切线 AD　[由题意得：f ＝sin ＝0， 所以＋φ＝kπ，k∈Z，即：φ＝－＋kπ，k∈Z， 又0<φ<π，所以k＝2时，φ＝. 故f (x)＝sin . 选项A：x∈时，2x＋∈，由y＝sin u图象知y＝f (x)是单调递减的； 选项B：x∈时，2x＋∈，由y＝sin u图象知y＝f (x)只有1个极值点，由2x＋＝可解得极值点； 选项C：x＝时，∵f ＝sin ＝sin 3π，∴直线x＝不是对称轴； 选项D：由f ′(x)＝2cos ＝－1得：cos ＝－， 解得2x＋＝＋2kπ，k∈Z或2x＋＝＋2kπ，k∈Z， 从而得：x＝kπ，k∈Z或x＝＋kπ，k∈Z， 所以函数y＝f (x)在点处的切线斜率为k＝f ′(0)＝2cos ＝－1， 切线方程为y－＝－(x－0)，即y＝－x.] 　本题属于既定函数问题，不同的选项代表不同的探究方向，需要考生运用相应的三角函数知识多角度探求每个结论的正确性． [跟进训练] 1．(多选)(2023·山东胜利一中模拟)将函数f (x)＝cos 的图象向右平移个单位长度后得到函数g (x)的图象，且g (0)＝－1，则下列说法正确的是(　　) A．g (x)为奇函数 B．g＝0 C．当ω＝5时，g (x)在上有4个极值点 D．若g (x)在上单调递增，则ω的最大值为5 BCD　[∵f (x)＝cos ＝sin ωx， ∴g(x)＝sin ，且g(0)＝－1， ∴－ω＝π，即ω＝1－4k，为奇数， ∴g(x)＝sin ＝－cos ωx为偶函数，故A错误； 由以上分析可知ω为奇数，∴g＝－cos ＝0，故B正确；由以上分析可知，当ω＝5时，g(x)＝sin ＝－cos 5x，T＝，由图象可知g (x)在上有4个极值点，故C正确； ∵g (x)在上单调递增，所以－0≤＝， 解得0<ω≤5，又∵ω＝1－4k， ∴ω的最大值为5，故D正确．故选BCD.] 命题点二　条件缺失型 [典例2]　(2021·北京高考)已知在△ABC中，c＝2b cos B，C＝. (1)求B的大小； (2)在三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯一确定，并求BC边上的中线的长度． ①c＝b；②周长为4＋2；③面积为S△ABC＝. [解]　(1)∵c＝2b cos B， 由正弦定理可得sin C＝2sin B cos B， 即sin C＝sin 2B, ∴C＝2B或C＋2B＝π. ∵C＝， ∴当C＝2B 时，B＝，即C＋B＝π，不符合题意， ∴C＋2B＝π， ∴2B＝，即B＝. (2)选①：c＝b. 由正弦定理可得＝＝＝， 与已知条件c＝b矛盾，故△ABC不存在． 选②：周长为4＋2. ∵C＝，B＝， ∴A＝， 由正弦定理可得＝＝＝2R， 即＝＝＝2R， ∴a＝R，b＝R，c＝R， ∴a＋b＋c＝(2＋)R＝4＋2， ∴R＝2，即a＝2，b＝2，c＝2， ∴△ABC存在且唯一确定. 设BC的中点为D， ∴CD＝1， 在△ACD中，运用余弦定理， AD2＝AC2＋CD2－2AC·CD·cos C， 即AD2＝4＋1－2×2×1×＝7，∴AD＝， ∴BC边上的中线的长度为. 选③：面积为S△ABC＝. ∵A＝B＝， ∴a＝b， ∴S△ABC＝ab sin C＝a2×＝，解得a＝， ∴△ABC存在且唯一确定. 设BC的中点为D，在△ACD中，运用余弦定理， AD2＝AC2＋CD2－2×AC×CD×cos ＝3＋＋×＝， ∴AD＝. 　该类试题不是完整呈现，一般需要考生从给出的多个条件中选出一个或两个补充完整进行解答，试题具有一定的开放性，不同的选择可能导致不同的结论，难度与平时也会有所不同． [跟进训练] 2．(2020·新高考Ⅰ卷)在①ac＝，②c sin A＝3，③c＝b这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由． 问题：是否存在△ABC，它的内