第4章 高考培优5 与三角形有关的范围(最值)问题(教参)-【名师导航】2024年高考数学一轮总复习(新教材新高考)人教版

　与三角形有关的范围(最值)问题 题型一　已知三角形的一角求取值范围 [典例1]　(2020·浙江高考)在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知2b sin A－a＝0. (1)求角B的大小； (2)求cos A＋cos B＋cos C的取值范围． [解]　(1)由正弦定理，得2sin B sin A＝sin A， 故sin B＝，由题意得B＝. (2)由A＋B＋C＝π，得C＝－A. 由△ABC是锐角三角形，得A∈. 由cos C＝cos ＝－cos A＋sin A，得 cos A＋cos B＋cos C＝sin A＋cos A＋ ＝sin ＋∈. 故cos A＋cos B＋cos C的取值范围是. 　由于本题是锐角三角形，对角度有更细致的要求，用余弦定理和基本不等式难以解决，这时候可以转化为角的关系，消元后使得式子里只有一个角，变为三角函数最值问题． [跟进训练] 1．若△ABC的面积为(a2＋c2－b2)，且∠C为钝角，则∠B＝________；的取值范围是________． 60°　(2，＋∞)　[由已知得(a2＋c2－b2)＝ac sin B，所以＝sin B，由余弦定理得cos B＝sin B，所以tan B＝，所以B＝60°，又C＞90°，B＝60°，所以A＜30°，且A＋C＝120°，所以＝＝＝＋.又A＜30°，所以0＜tan A＜，即＞，所以＞＋＝2.] 题型二　已知三角形的一角及其对边求取值范围 [典例2]　(2020·全国Ⅱ卷)△ABC中，sin2A－sin2B－sin2C＝sinB sin C. (1)求A； (2)若BC＝3，求△ABC周长的最大值． [四字解题] 读 想 算 思 BC＝3，求△ABC周长的最大值 最值的求法 基本不等式 余弦定理及AC·AB≤求周长的范围 转化化归、函数与方程 三角函数 正弦定理把BC，AC，AB表示成三角函数，并求最值 [解]　(1)由正弦定理和已知条件得 BC2－AC2－AB2＝AC·AB.　① 由余弦定理得 BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB cos A.　② 由①②得cos A＝－. 因为0＜A＜π，所以A＝. (2)法一(基本不等式)：由余弦定理得：BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB cos A＝AC2＋AB2＋AC·AB＝9， 即－AC·AB＝9. ∵AC·AB≤(当且仅当AC＝AB时取等号)， ∴9＝－AC·AB≥－＝， 解得AC＋AB≤2(当且仅当AC＝AB时取等号)， ∴△ABC周长L＝AC＋AB＋BC≤3＋2， ∴△ABC周长的最大值为3＋2. 法二(三角函数法)：由正弦定理及(1)得 ＝＝＝2， 从而AC＝2sin B， AB＝2sin(π－A－B)＝3cos B－sin B. 故BC＋AC＋AB＝3＋sin B＋3cos B ＝3＋2sin . 又0＜B＜， 所以当B＝时，△ABC周长取得最大值3＋2. 　本题的求解可采用两种思路：思路一是借助余弦定理及AC·AB≤求周长的范围；思路二是借助正弦定理把BC，AC，AB表示成三角函数，利用三角函数的性质求最值． [跟进训练] 2．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积记为S△ABC，满足a2＋b2－c2＝S△ABC. (1)求C； (2)若c＝，求2a－4sin B的取值范围． [解]　(1)∵a2＋b2－c2＝S△ABC， ∴2ab cos C＝×ab sin C，所以tan C＝，由C为三角形内角得C＝. (2)由正弦定理得＝＝2，∴a＝2sin A， ∴2a－4sin B＝4sin A－4sin B ＝4sin A－4sin ＝4sin ， 由0＜A＜得－＜A－＜， ∴－＜sin ＜， ∴－2＜4sin ＜2. 故2a－4sin B的取值范围为(－2，2). 题型三　已知三角形的一角及其邻边求取值范围 [典例3]　△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a sin ＝b sin A. (1)求B； (2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围． [解]　(1)由题设及正弦定理得 sin A sin ＝sin B sin A. 因为sin A≠0，所以sin ＝sin B. 由A＋B＋C＝180°，可得sin ＝cos ， 故cos ＝2sin cos . 因为cos ≠0，故sin ＝，所以B＝60°. (2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC＝a. 由(1)知A＋C＝120°. 由正弦定理得a＝＝＝＋. 由于△ABC为锐角三角形，故0°<A<90°，0°<C<90°.结合A＋C＝120°，得30°＜C<90°，故＜a＜2，从而＜S△ABC＜. 因此，△ABC面