第4章 高考培优4 三角函数中ω的范围问题(教参)-【名师导航】2024年高考数学一轮总复习(新教材新高考)人教版

　三角函数中ω的范围问题 题型一　利用三角函数的周期T求解 [典例1]　(1)为了使函数y＝sin ωx(ω>0)在区间[0，1]上至少出现50次最大值，则ω的最小值为(　　) A．98π B．π　 C．π D．100π (2)已知函数f (x)＝cos (ω>0)的一条对称轴为x＝，一个对称中心为点，则ω有(　　) A．最小值2 B．最大值2 C．最小值1 D．最大值1 (1)B　(2)A　[(1)由题意，至少出现50次最大值即至少需要49个周期，所以T＝·≤1，所以ω≥π. (2)因为函数的对称中心到对称轴的最短距离是，两条对称轴间的最短距离是，所以对称中心到对称轴x＝间的距离用周期可表示为－＝＋(k∈N，T为周期)，解得(2k＋1)T＝π，又T＝，所以(2k＋1)·＝π，则ω＝2(2k＋1)，当k＝0时，ω＝2最小．故选A.] 　解决此类问题的关键在于结合条件弄清周期T＝与所给区间的关系，从而建立不等关系． [跟进训练] 1．(1)已知函数f (x)＝sin (ω>0)，若f (x)在上恰有两个零点，则ω的取值范围是(　　) A． B． C． D． (2)若函数f (x)＝2tan 的最小正周期T满足1<T<2，则自然数k的值为________． (1)A　(2)2或3　[(1)因为0≤x≤，且ω>0，所以≤ωx＋≤＋，又f (x)在上恰有两个零点，所以＋≥2π且＋<3π，解得≤ω<4.故选A. (2)由题意得1<<2，k∈N， ∴<k<π，k∈N，∴k＝2或3.] 题型二　利用三角函数的单调性求解 [典例2]　(多选)已知函数g (x)＝sin ωx(ω>0)在上是单调函数，其图象的一条对称轴方程为x＝，则ω的值可能是(　　) A． B． C．1 D． ACD　[由题意得： ⇒ω＝，1，. 故选ACD.] 　根据正弦函数的单调递增区间，确定函数g(x)的单调递增区间，根据函数g(x)＝sin ωx(ω>0)在区间上单调递增，建立不等式，即可求ω的取值范围． [跟进训练] 2．已知函数f (x)＝2sin (ωx＋φ)(ω＞0)满足f ＝2，f (π)＝0，且f (x)在区间上单调，则符合条件的ω的值有________个． 9　[设函数f (x)的最小正周期为T， 由f ＝2，f (π)＝0， 结合正弦函数图象的特征可知＋＝，k∈N， 故T＝，k∈N. 又因为f (x)在区间上单调， 所以－≤，故T≥， 所以ω＝≤12，即≤12， 所以k≤，k∈N，所以k＝0，1，2，…，8，符合条件的ω的值有9个．] 题型三　利用三角函数的最值、对称性求解 [典例3]　(1)函数f (x)＝sin (ω>0)在内有且仅有一个极大值点，则ω的取值范围为(　　) A． B． C． D． (2)已知函数f (x)＝sin (ω＞0)，若f (x)在(0，2π)上恰有3个极值点，则ω的取值范围是________． (1)A　(2)　[(1)法一：因为ω>0，所以函数f (x)在内有且仅有一个极大值点等价于函数y＝sin x在内有且仅有一个极大值点． 若y＝sin x在上有且仅有一个极大值点，则<ωπ＋≤，解得<ω≤. 故选A. 法二：令ωx＋＝2kπ＋，可得f (x)的极大值点x＝＋，其中k∈Z. 由＋∈，k∈Z，可得－<k<－，k∈Z， 由题设可知这个范围的整数k有且仅有一个，因此0<－≤1，于是正数ω的取值范围为，选项A正确．故选A. (2)令t＝ωx＋，因为x∈(0，2π)，ω＞0，所以t∈，结合y＝sin t的图象得＜2ωπ＋≤，解得＜ω≤.] 　利用三角函数的最值与对称或周期的关系，可以列出关于ω的不等式，进而求出ω的值或取值范围． [跟进训练] 3．(1)若函数f (x)＝sin ωx＋cos ωx(ω＞0)在区间上仅有一条对称轴及一个对称中心，则ω的取值范围为(　　) A．(5，8) B．(5，8] C．(5，11] D．[5，11) (2)(多选)(2023·山东泰安模拟)已知函数f (x)＝sin 在上单调，且f ＝f ＝－f ，则ω的取值可能为(　　) A． B． C． D． (1)B　(2)ACD　[(1)由题意，函数f (x)＝sin ωx＋cos ωx＝2sin ，因为x∈，可得＜ωx＋＜(1＋ω)，要使得函数f (x)在区间上仅有一条对称轴及一个对称中心，则满足π＜(1＋ω)≤，解得5＜ω≤8，所以ω的取值范围为(5，8]. (2)设f (x)的最小正周期为T，则由题意可得≥－，即T≥π.由f (x)在上单调，且f ＝－f ，得f (x)的一个零点为＝－.因为f ＝f ，所以有以下三种情况：①T＝－＝，则ω＝＝；②＝－＝，则ω＝＝；③＝，则ω