第4章 第8课时 正弦定理、余弦定理的应用举例(教参)-【名师导航】2024年高考数学一轮总复习(新教材新高考)人教版

第8课时　正弦定理、余弦定理的应用举例 [考试要求]　能够运用正弦定理、余弦定理等知识解决一些与测量和几何计算有关的实际问题． 测量中的几个常用术语 术语名称 术语意义 图形表示 仰角与俯角 在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角 方位角 从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角，方位角θ的范围是[0，2π) 方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)α 例：(1)北偏东α： (2)南偏西α： 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)东北方向就是北偏东45°的方向． (　　) (2)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°. (　　) (3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系． (　　) (4)方位角大小的范围是[0，2π)，方向角大小的范围一般是. (　　) [答案]　(1)√　(2)×　(3)√　(4)√ 二、教材习题衍生 1．(人教A版必修第二册P49例9改编)如图，在河岸AC测量河的宽度，测量下列四组数据，较适宜的是(　　) A．a，c，α　　　 B．b，c，α C．c，a，β D．b，α，γ [答案]　D 2．(人教A版必修第二册P51练习T1改编)一艘轮船以18海里/时的速度沿北偏东40°的方向直线航行，在行驶到某处时，该轮船南偏东20°方向上10海里处有一灯塔，继续行驶20分钟后，轮船与灯塔的距离为(　　) A．17海里 B．16海里 C．15海里 D．14海里 D　[记轮船行驶到某处的位置为A，灯塔的位置为B，20分钟后轮船的位置为C，如图所示．则AB＝10，AC＝6，∠CAB＝120°，所以BC2＝102＋62－2×10×6×＝196，所以BC＝14.故20分钟后，轮船与灯塔的距离为14海里．故选D.] 3．(人教A版必修第二册P50例10改编)如图所示，D，C，B在地平面同一直线上，DC＝10 m，从D，C两地测得A点的仰角分别为30°和45°，则A点离地面的高AB等于(　　) A．10 m B．5 m C．5(－1)m D．5(＋1)m D　[法一：设AB＝x，则BC＝x. ∴BD＝10＋x. ∴tan ∠ADB＝＝＝. 解得x＝5(＋1). ∴A点离地面的高AB等于5(＋1)m. 法二：∵∠ACB＝45°，∴∠ACD＝135°， ∴∠CAD＝180°－135°－30°＝15°. 由正弦定理，得AC＝·sin ∠ADC ＝·sin 30°＝ . ∴AB＝AC sin 45°＝5(＋1)m.] 4．(人教A版必修第二册P53T8改编)如图，为了测量河对岸的塔高AB，有不同的方案，其中之一是选取与塔底B在同一水平面内的两个点C和D，测得CD＝200 m，在C点和D点测得塔顶A的仰角分别是45°和30°，且∠CBD＝30°，则塔高AB＝________m. 200　[在Rt△ABC中，∠ACB＝45°. 设AB＝h，则BC＝h， 在Rt△ABD中，∠ADB＝30°，所以BD＝h. 在△BCD中，∠CBD＝30°，CD＝200 m， 由余弦定理可得40 000＝h2＋3h2－2h·h·， 所以h＝200，所以塔高AB＝200 m．] 考点一　测量距离问题 [典例1]　某省第三次农业普查农作物遥感测量试点工作，用上了无人机．为了测量两山顶M，N间的距离，无人机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内(如图)，无人机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；②用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤． [解]　方案一：①需要测量的数据有：A点到M，N点的俯角α1，β1；B点到M，N点的俯角α2，β2；A，B间的距离d. ②第一步：计算AM.由正弦定理可得AM＝； 第二步：计算AN.由正弦定理可得AN＝； 第三步：计算MN.由余弦定理可得 MN＝. 方案二：①需要测量的数据有：A点到M，N点的俯角α1，β1；B点到M，N点的俯角α2，β2；A，B间的距离d. ②第一步：计算BM.由正弦定理可得BM＝； 第二步：计算BN.由正弦定理可得BN＝； 第三步：计算MN.由余弦定理可得 MN＝. 　距离问题的解题思路 这类实际应用题，实质就是解三角形问题，一般都离不开正弦定理和余弦定理，在解题中，首先要正确地画出符合题意的示意图，然后将问题转化为三角形问题去求解． 提醒：①基线的选取要恰当准确；②选取的三角形及正弦、余弦定理要恰当． [跟进训练] 1．