第4章 第7课时 正弦定理、余弦定理(教参)-【名师导航】2024年高考数学一轮总复习(新教材新高考)人教版

第7课时　正弦定理、余弦定理 [考试要求]　 1．掌握正弦定理、余弦定理及其变形． 2．能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题． 1．正弦、余弦定理 在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC的外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 内容 ＝＝＝2R a2＝b2＋c2－2bc_cos_A； b2＝c2＋a2－2ca_cos_B； c2＝a2＋b2－2ab c os C 变形 (1)a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C； (2)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； (3)＝＝2R cos A＝； cos B＝； cos C＝ 2．三角形常用面积公式 (1)S＝a·ha(ha表示边a上的高)； (2)S＝ab sin C＝ac_sin_B＝bc_sin_A； (3)S＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径). [常用结论] 1．三角形内角和定理 在△ABC中，A＋B＋C＝π；变形：＝－. 2．三角形中的三角函数关系 (1)sin (A＋B)＝sin C；(2)cos (A＋B)＝－cos C； (3)sin ＝cos ；(4)cos ＝sin . 3．三角形中的射影定理 在△ABC中，a＝b cos C＋c cos B；b＝a cos C＋c cos A；c＝b cos A＋a cos B. 4．三角形中的大角对大边 在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B． 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比． (　　) (2)在△ABC中，若sin A＞sin B，则A＞B. (　　) (3)在△ABC中，＝. (　　) (4)当b2＋c2－a2＞0时，△ABC为锐角三角形；当b2＋c2－a2＝0时，△ABC为直角三角形；当b2＋c2－a2＜0时，△ABC为钝角三角形． (　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 二、教材习题衍生 1．(人教A版必修第二册P47例7改编)已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝，B＝，a＝1，则b＝(　　) A．2　 B．1　　 C．　 D． D　[由＝得b＝＝＝×2＝.] 2．(人教A版必修第二册P44练习T1(2)改编)在△ABC中，若a＝2，c＝4，B＝60°，则b等于(　　) A．2 B．12 C．2 D．28 A　[由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得b2＝4＋16－8＝12，所以b＝2.] 3．(人教A版必修第二册P47例8改编)在△ABC中，已知B＝45°，b＝2，c＝，则C＝________． 30°　[由正弦定理得sin C＝＝＝， 因为b＞c，B＝45°，所以C＝30°.] 4．(人教A版必修第二册P44练习T2改编)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝4，b＝5，c＝6，则cos A＝________，△ABC的面积为________． 　　[依题意得cos A＝＝， 所以sin A＝＝， 所以△ABC的面积为bc sinA＝.] 考点一　利用正、余弦定理解三角形 [典例1]　△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin2B＋sin2C－sin2A＝sinB sin C. (1)求A； (2)若a＝4，△ABC的面积为4，求b＋c. [解]　(1)因为sin2B＋sin2C－sin2A＝sinB sin C，所以b2＋c2－a2＝bc， 则cos A＝＝＝， 因为0＜A＜π，所以A＝. (2)因为△ABC的面积为4， 所以bc sin A＝bc＝4，即bc＝16. 因为b2＋c2－a2＝bc，a＝4，所以b2＋c2＝32， 所以b＋c＝＝＝8. 　解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理，以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到． [跟进训练] 1．(1)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b sin 2A＝a sin B，且c＝2b，则等于(　　) A．2　 B．3　　 C．　 D． (2)在①＝；②cos A＝sin A－1；③cos ＝sin A这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答． 问题：已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，b－c＝4，△ABC的外接圆半径为2，且________，求角A及△ABC的边BC上的高h. (1)D　　[由正弦定理及b sin 2A＝asin B，得2sin B·sin Acos A＝sin Asin B，又sin A≠0，sin B≠0，则c