第4章 第6课时 函数y＝A sin (ωx＋φ)(教参)-【名师导航】2024年高考数学一轮总复习(新教材新高考)人教版

第6课时　函数y＝A sin (ωx＋φ) [考试要求]　 1．结合具体实例，了解y＝A sin (ωx＋φ)的实际意义；能借助图象理解参数ω，φ，A的意义，了解参数的变化对函数图象的影响． 2．会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型． 1．简谐运动的有关概念 y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x≥0 振幅 周期 频率 相位 初相 A T＝ f ＝＝ ωx＋φ φ 2．用“五点法”画y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)在一个周期内的简图时，要找五个特征点 ωx＋φ 0 π 2π x y＝A sin (ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 3．函数y＝sin x的图象经变换得到y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种途径 提醒：两种变换的区别 ①先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位长度；②先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是(ω＞0)个单位长度． [常用结论] 1．函数y＝A sin (ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”． 2．函数y＝sin (ωx＋φ)图象的对称轴是直线x＝＋－(k∈Z)，对称中心是点(k∈Z). 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)将y＝3sin 2x的图象左移个单位长度后所得图象的解析式是y＝3sin . (　　) (2)y＝sin x的图象上各点的纵坐标不变，把横坐标缩短为原来的，所得图象对应的函数解析式为y＝sin . (　　) (3)y＝sin 的图象是由y＝sin 的图象向右平移个单位长度得到的． (　　) (4)函数y＝A cos (ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为. (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 二、教材习题衍生 1．(人教A版必修第一册P254复习参考题5T10改编)y＝2sin 的振幅、频率和初相分别为(　　) A．2，4π， B．2，， C．2，，－ D．2，4π，－ C　[由题意知A＝2，f ＝＝＝，初相为－.] 2．(人教A版必修第一册P239练习T2改编)为了得到函数y＝2sin 的图象，可以将函数y＝2sin 2x的图象(　　) A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 A　[y＝2sin ＝2sin .] 3．(人教A版必修第一册P240习题5.6T1改编)为了得到y＝3cos的图象，只需把y＝3cos图象上的所有点的(　　) A．纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变 B．横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变 C．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变 D．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 D　[因为变换前后，两个函数的初相相同，所以只需把y＝3cos图象上的所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，即可得到函数y＝3cos的图象，故选D.] 4．(人教A版必修第一册P245例1改编)如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y＝A sin (ωx＋φ)＋B，A＞0，ω＞0，0<φ<π，则这段曲线的函数解析式为________． y＝5sin ＋10，x∈[6，14]　[从题图中可以看出，从6～14时的图象是函数y＝A sin (ωx＋φ)＋B的半个周期，则 所以A＝×(15－5)＝5，B＝×(15＋5)＝10. 又×＝14－6，所以ω＝. 又×10＋φ＝2π＋2kπ，k∈Z，0<φ<π，所以φ＝， 所以y＝5sin ＋10，x∈[6，14].] 考点一　函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象及变换 [典例1]　已知函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)的最小正周期是π，且当x＝时，f (x)取得最大值2. (1)求f (x)的解析式； (2)作出f (x)在[0，π]上的图象(要求列表)； (3)函数y＝f (x)的图象可由函数y＝sin x的图象经过怎样的变换得到？ (4)函数y＝f (x)的图象可由函数y＝cos x的图象经过怎样的变换得到？ [解]　(1)因为函数f (x)的最小正周期是π，所以ω＝2. 又因为当x＝时，f (x)取得最大值2，所以A＝2， 同时2×＋φ＝2kπ＋，k∈Z， φ＝2kπ＋，k∈Z， 因为－<φ<，所以φ＝， 所以f (x)＝2sin . (2)因为x∈[0，π]，所以2x＋∈. 列表如下： 2x＋ π 2π x 0 π f (x) 1 2 0 －2 0 1 描点、连线得图象，如图． (3)将y＝sin x的图象上的所有点向左平移个