第4章 第5课时 三角函数的图象与性质(教参)-【名师导航】2024年高考数学一轮总复习(新教材新高考)人教版

第5课时　三角函数的图象与性质 [考试要求]　 1．能画出三角函数的图象． 2．了解三角函数的周期性、奇偶性、最大(小)值． 3．借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]上，正切函数在上的性质． 1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]图象的五个关键点是：(0，0)，，(π，0)，，(2π，0). 余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]图象的五个关键点是：(0，1)，，(π，－1)，，(2π，1). 2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 R R 值域 [－1，1] [－1，1] R 周期 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调性 递增区间 ，k∈Z [－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z ，k∈Z 递减区间 ，k∈Z [2kπ，π＋2kπ]，k∈Z 无 对称性 对称中心 (kπ，0)，k∈Z ，k∈Z ，k∈Z 对称轴 x＝kπ＋，k∈Z x＝kπ，k∈Z 无对称轴 零点 kπ，k∈Z kπ＋，k∈Z kπ，k∈Z [常用结论] 1．对称与周期 (1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期． (2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期． 2．奇偶性 (1)函数y＝A sin (ωx＋φ)(x∈R)是奇函数⇔φ＝kπ(k∈Z)； (2)函数y＝A sin (ωx＋φ)(x∈R)是偶函数⇔φ＝kπ＋(k∈Z)； (3)函数y＝A cos (ωx＋φ)(x∈R)是奇函数⇔φ＝kπ＋(k∈Z)； (4)函数y＝A cos (ωx＋φ)(x∈R)是偶函数⇔φ＝kπ(k∈Z)． 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)正切函数y＝tan x在定义域内是增函数． (　　) (2)已知y＝k sin x＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1． (　　) (3)函数y＝tan x的图象关于点(kπ，0)(k∈Z)中心对称． (　　) (4)y＝sin |x|与y＝|sin x|都是周期函数． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 二、教材习题衍生 1．(人教A版必修第一册P201例2改编)若函数y＝2sin 2x－1的最小正周期为T，最大值为A，则(　　) A．T＝π，A＝1　　　 B．T＝2π，A＝1 C．T＝π，A＝2 D．T＝2π，A＝2 A　[T＝＝π，A＝2－1＝1，故选A.] 2．(人教A版必修第一册P213练习T3改编)函数y＝3tan 的定义域是(　　) A． B． C． D． C　[要使函数有意义，则2x＋≠kπ＋，k∈Z， 即x≠π＋，k∈Z， 所以函数的定义域为.] 3．(人教A版必修第一册P207练习T3改编)下列关于函数y＝4sin x，x∈[－π，π]的单调性的叙述，正确的是(　　) A．在[－π，0]上单调递增，在[0，π]上单调递减 B．在上单调递增，在及上单调递减 C．在[0，π]上单调递增，在[－π，0]上单调递减 D．在及上单调递增，在上单调递减 B　[函数y＝4sin x在和上单调递减，在上单调递增．故选B.] 4．(人教A版必修第一册P205例3改编)函数y＝3－2cos的最大值为________，此时x＝________． 5　＋2kπ(k∈Z)　[函数y＝3－2cos的最大值为3＋2＝5，此时x＋＝π＋2kπ，k∈Z，即x＝π＋2kπ(k∈Z).] 考点一　三角函数的定义域和值域 [典例1]　(1)(易错题)函数y＝的定义域为________． (2)函数y＝sin x－cos 的值域为________． (3)当x∈时，函数y＝3－sin x－2cos2x的值域为________． (1)xx≠＋kπ，且x≠＋kπ，k∈Z (2)[－，]　(3)　[(1)要使函数有意义，必须有即 故函数的定义域为. (2)∵y＝sin x－cos ＝sin x－cos x＋sin x＝sin x－cos x＝sin ， ∴函数y＝sin x－cos 的值域为[－，]. (3)因为x∈，所以sin x∈. 又y＝3－sin x－2cos2x＝3－sinx－2(1－sin2x)＝2＋， 所以当sin x＝时，ymin＝，当sin x＝－或sin x＝1时，ymax＝2.即函数的值域为.] 【教师备选题】 1．函数y＝lg (sin 2x)＋的定义域为________． ∪　[∵函数y＝lg (sin 2x)＋， ∴应满足解得其中k∈Z，∴－3≤x<－或0<