第4章 第4课时 简单的三角恒等变换(教参)-【名师导航】2024年高考数学一轮总复习(新教材新高考)人教版

第4课时　简单的三角恒等变换 [考试要求]　能运用公式进行简单的三角恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆)． 1．降幂公式 (1)sin2α＝； (2)cos2α＝； (3)tan2α＝. 2．辅助角公式 a sin α＋b cos α＝sin (α＋φ) . [常用结论] 公式的常用变式 (1)sin 2α＝＝； (2)cos2α＝＝； (3)1＋cosα＝2cos2； (4)1－cosα＝2sin2； (5)1＋sinα＝； (6)1－sin α＝； (7)tan ＝＝. 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)公式a sin x＋b cos x＝sin (x＋φ)中φ的取值与a，b的值无关． (　　) (2)cos θ＝2cos2－1＝1－2sin2. (　　) (3)当α是第一象限角时，sin＝. (　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)× 二、教材习题衍生 1．(多选)(人教A版必修第一册P220T4(1)改编)cos α－sin α化简的结果可以是(　　) A．cos 　　 B．2cos C．sin D．2sin BD　[cos α－sin α＝2 ＝2＝2cos ＝2sin .] 2．(人教A版必修第一册P226T1改编)已知sin α＝，cos α＝，则tan 等于(　　) A．2－ B．2＋ C．－2 D．±(－2) C　[∵sin α＝，cos α＝， ∴tan ＝＝－2.] 3．(人教A版必修第一册P226T2改编)已知θ∈且sin θ＝，则sin ＝____________；cos ＝________． －　－　[∵θ∈，且sin θ＝. ∴cos θ＝－，∈， ∴sin ＝－＝－， cos ＝－＝－.] 4．(人教A版必修第一册P254T13(2)改编)在等式(tan 10°－)·sin (*)＝－2cos 40°的括号中，填写一个锐角，使得等式成立，这个锐角是________． 80°　[因为等式(tan 10°－)·sin (*)＝－2cos 40°可以转化为sin (*)＝＝＝＝＝cos 10°＝sin 80°. 又因为所求的是锐角，故答案为80°.] 考点一　三角函数式的化简 [典例1]　化简：(1)－2cos (α＋β)； (2)(0<α<π). [解]　(1)原式＝ ＝ ＝ ＝ ＝＝. (2)因为tan ＝， 所以(1＋cos α)tan ＝sin α. 又因为cos ＝－sin α，且1－cos α＝2sin2， 所以原式＝＝ ＝－. 因为0<α<π，所以0<<. 所以sin >0. 所以原式＝－2cos . 　三角函数式的化简要遵循“三看”原则 [跟进训练] 1．已知0<θ<π，则＝_______． －cos θ　[原式＝ ＝cos·＝. 因为0<θ<π，所以0<<，所以cos >0， 所以原式＝－cos θ.] 考点二　三角函数式的求值 　给角求值 [典例2]　(1)cos 20°·cos 40°·cos 100°＝________． (2)[2sin 50°＋sin 10°(1＋tan 10°)]·＝________． (1)－　(2)　[(1)cos20°·cos 40°·cos 100° ＝－cos 20°·cos 40°·cos 80° ＝－ ＝－ ＝－＝－ ＝－＝－. (2)原式＝·sin 80°＝· cos 10°＝2[sin 50°·cos 10°＋sin 10°·cos (60°－10°)]＝2sin (50°＋10°)＝2×＝.] 　给值求值 [典例3]　(1)设α为锐角，若cos ＝－，则sin 的值为(　　) A．　　　　　 B． C．－ D． (2)已知0＜x＜，sin ＝，则＝________. (1)B　(2)　[(1)由0＜α＜得＜α＋＜， ∴sin ＝＝， ∴sin ＝2sincos ＝－， cos ＝2cos2－1＝2×－1＝－， ∴sin ＝sin ＝sin cos －cos sin ＝×－×＝，故选B. (2)法一(先化简后求值)： ＝＝(cos x＋sin x)＝2cos. 由0＜x＜得0＜－x＜， ∴cos ＝＝＝， ∴原式＝2×＝. 法二(先局部后整体)： cos＝cos ＝sin ＝， 由0＜x＜得0＜－x＜， ∴cos ＝＝＝， ∴cos2x＝sin ＝2sincos ＝2××＝. ∴＝×＝.] 　给值求角 [典例4]　(1)已知sin α＝，sin (α－β)＝－，α，β均为锐角，则角β的值是________． (2)(易错题)已知α，β∈(0，π)，且tan (α－β)＝，tan β＝－，则2α－β的值为________． (1)　(2)